[HAOI2012]高速公路

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线段树

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本文介绍了一种解决区间权值和期望问题的有效算法。通过将问题转化为计算特定形式的和，利用线段树进行维护，实现了快速求解。特别讨论了如何计算每个元素在不同区间内的贡献。

题意

给你一个序列 $,$ 询问一个区间求从中任选一个子区间的权值和的期望 $,$ 带修改

题解

设 $sum(L,R)=\sum_{i=L}^Rw_i,$ 可以想到

E = \sum i = L R \sum j = i R s u m ( i , j ) ( R - L + 1 2 )

$E=\sum_{i=L}^R\sum_{j=i}^R\frac{sum(i,j)}{{R-L+1\choose2}}$

即所有情况的和除以每种情况的概率

考虑怎么求 $\sum_{i=L}^R\sum_{j=i}^Rsum(i,j)$

考虑到每一个 $w_i$ 会存在于 $(i-L+1)\times(R-i+1)$ 个区间中 $($ 分别枚举左右端点 $)$

可以得到

\sum i = L R \sum j = i R s u m (i, j) = \sum i = L R w i (i - L + 1) \times (R - i + 1)

$\sum_{i=L}^R\sum_{j=i}^Rsum(i,j)=\sum_{i=L}^Rw_i(i-L+1)\times(R-i+1)$

化简得

(R + 1) (1 - L) \sum w i + (L + R) \sum w i i - \sum w i i 2

$(R+1)(1-L)\sum w_i+(L+R)\sum w_ii-\sum w_ii^2$

其中那三样东西都可以用线段树维护

特殊的 $\sum_{i=1}^ni^2=\frac{(2n+1)n(n+1)}6$

注意这题中的一些细节

把边权化为点权时如果直接 $--R$ 的话那么分母应该是 ${R-L+2\choose2}$

#include<bits/stdc++.h>
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(register int i=fi[u],v=e[i].to;i;v=e[i=e[i].nx].to)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char ss[1<<17],*A=ss,*B=ss;
inline char gc(){return A==B&&(B=(A=ss)+fread(ss,1,1<<17,stdin),A==B)?-1:*A++;}
template<class T>inline void sd(T&x){
    char c;T y=1;while(c=gc(),(c<48||57<c)&&c!=-1)if(c==45)y=-1;x=c-48;
    while(c=gc(),47<c&&c<58)x=x*10+c-48;x*=y;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
template<class T>inline void we(T x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
const int N=1e5+5;
typedef int arr[N];
typedef long long ll;
int n,m,tg[N<<2];ll tr[N<<2][3];
#define lc p<<1
#define rc p<<1|1
inline ll calc(int x){return (ll)(x<<1|1)*x*(x+1)/6;}
inline void Tag(int p,int L,int R,int w){
    int x=(R-L+1);tg[p]+=w;
    tr[p][0]+=(ll)w*x;
    tr[p][1]+=(ll)w*x*(L+R)>>1;
    tr[p][2]+=(calc(R)-calc(L-1))*w;
}
inline void down(int p,int L,int R){
    int mid=(L+R)>>1,w=tg[p];tg[p]=0;
    Tag(lc,L,mid,w),Tag(rc,mid+1,R,w);
}
inline void up(int p){fp(i,0,2)tr[p][i]=tr[lc][i]+tr[rc][i];}
void mdy(int p,int L,int R,int a,int b,int w){
    if(a<=L&&R<=b)return Tag(p,L,R,w);
    if(tg[p])down(p,L,R);int mid=(L+R)>>1;
    if(a<=mid)mdy(lc,L,mid,a,b,w);
    if(b>mid)mdy(rc,mid+1,R,a,b,w);up(p);
}
ll qry(int p,int L,int R,int a,int b,int y){
    if(a<=L&&R<=b)return tr[p][y];
    if(tg[p])down(p,L,R);int mid=(L+R)>>1;
    if(b<=mid)return qry(lc,L,mid,a,b,y);
    if(a>mid)return qry(rc,mid+1,R,a,b,y);
    return qry(lc,L,mid,a,b,y)+qry(rc,mid+1,R,a,b,y);
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        file("roadxw");
    #endif
    sd(n),sd(m);--n;
    int L,R;char c;ll x,y,g;
    while(m--){
        while(c=gc(),c<32);sd(L),sd(R);--R;
        if(c=='C')sd(x),mdy(1,1,n,L,R,x);
        else{
            y=(ll)(R-L+2)*(R-L+1)>>1;
            x=qry(1,1,n,L,R,0)*(R+1)*(1-L)+qry(1,1,n,L,R,1)*(R+L)-qry(1,1,n,L,R,2);
            g=__gcd(x,y);we(x/g),sr[C]='/',we(y/g);
        }
    }
return Ot(),0;
}