[Codeforces1223G]Wooden Raft

最新推荐文章于 2022-04-01 22:58:06 发布

原创最新推荐文章于 2022-04-01 22:58:06 发布 · 361 阅读

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本文探讨了在给定条件下，如何通过优化算法求解木头切割问题，以获得最大可能的木头乘积值。文章详细介绍了算法的实现思路，包括如何计算不同长度木头的组合方式，以及如何通过枚举和记录最大值来提高效率。

题意

给你 $n$ 根木头，第 $i$ 根长 $a_i$

锯出 $2$ 段长度为 $x$ 的木头和 $x$ 段长度为 $y$ 的木头

木头锯完后不能再拼接且必须满足 $x≥2,y≥2x\ge2,y\ge2$

求 $x×yx\times y$ 的最大值

$n≤5×105,2≤ai≤5×105n\le5\times10^5,2\le a_i\le5\times10^5$

题解

因为要锯 $x$ 段长度为 $y$ 的木头， $y$ 影响更大，所以考虑对于某一个 $y$ 怎么要求出最大的 $x$

对于一个 $y$ 能锯的的木头总数 $cntY=∑i=1n⌊aiy⌋cntY=\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{a_i}y\rfloor$

剩下两根长度为 $x$ 的木头可以分两种情况讨论：①来自于同一根木头；②来自于不同木头

①：来自于同一根木头

假设限定 $2x∈[ky,ky+y)2x\in[ky,ky+y)$ ，那么 $2 x$ 的最大值就是 $y∣ai≥ky}ky+\max\{a_i\mod y|a_i\ge ky\}$

$k$ 从大到小枚举并记录 $a_i\mod y$ 的最大值即可

剩余木头数量即为 $c n t Y - k$

②：来自于不同木头

假设限定 $x∈[ky,ky+y)x\in[ky,ky+y)$ ，记录 $a_i\mod y$ 的最大值 $m_1$ ，次大值 $m_2$

如果 $x$ 取 $ky+m_2$ ，那么剩余木头数量就是 $c n t Y - 2 k$

如果 $x$ 取 $ky+m_1$ ，这样就要把一段更长的木头（如果存在的话）多锯开一小段，那么剩余木头数量就是 $c n t Y - 2 k - 1$

再处理一些细节即可（详见代码）

记 $A=\max a_i$ ,时间复杂度 $O(n+∑y=2A⌊Ay⌋)=O(n+Aln⁡A)O(n+\sum_{y=2}^A\lfloor\frac Ay\rfloor)=O(n+A\ln A)$

#include<bits/stdc++.h>
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char ss[1<<17],*A=ss,*B=ss;
inline char gc(){return A==B&&(B=(A=ss)+fread(ss,1,1<<17,stdin),A==B)?-1:*A++;}
template<class T>inline void sd(T&x){
	char c;T y=1;while(c=gc(),(c<48||57<c)&&c!=-1)if(c==45)y=-1;x=c-48;
	while(c=gc(),47<c&&c<58)x=x*10+c-48;x*=y;
}
const int N=5e5+5,M=N<<1,inf=~0u>>1;
typedef long long ll;
typedef int arr[N];
struct Pair{
	int Mod,Len;
	Pair(int x=-1,int y=-1){Mod=x,Len=y;}
	bool operator<(Pair b)const{return Mod==b.Mod?Len<b.Len:Mod<b.Mod;}
};
struct  Rest{
	Pair x,y;
	void Up(Pair z){y=max(y,min(x,z)),x=max(x,z);}
};
int n,Mx;arr pr,cnt,sum;ll ans,cntY;
inline void Upd(int x,int y){x<2?0:cmax(ans,(ll)x*y);}
int main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
		file("s");
	#endif
	sd(n);
	int x;
	fp(i,1,n)sd(x),++cnt[x],cmax(Mx,x);
	fp(i,1,Mx){
		sum[i]=sum[i-1]+cnt[i];	
		pr[i]=cnt[i]?i:pr[i-1];
	}
	fp(y,2,Mx){
		cntY=0;Rest res;
		for(int i=y;i<=Mx;i+=y)
			cntY+=(ll)(sum[min(i+y-1,Mx)]-sum[i-1])*(i/y);
		for(int k=Mx/y,m=Mx+1;k>=0;m=k*y,--k){
			int val=pr[m-1],More=(res.x.Mod>=0)+(res.y.Mod>=0),ky=k*y;
			if(val>=ky){
				res.Up(Pair(val%y,val));
				if(cnt[val]==1)val=pr[val-1];
				if(val>=ky)res.Up(Pair(val%y,val));
			}
			if(res.x.Mod>=0)
				Upd(min((ll)(ky+res.x.Mod)>>1,cntY-k),y);
			if(res.y.Mod>=0){
				Upd(min((ll)(ky+res.y.Mod),cntY-2*k),y);
				if(More+(res.x.Len<m)>1)
					Upd(min((ll)(ky+res.x.Mod),cntY-2*k-1),y);
			}
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
return 0;
}