poj1050 2010.3.5_poj1050 中文描述-优快云博客

本文介绍了一个经典的最大子矩阵和问题，即在一个给定的二维数组中寻找具有最大和的子矩阵。通过动态规划方法，文章详细解释了如何在O(N^3)的时间复杂度内解决这一问题，并给出了具体的实现代码。

poj1050 2010.3.5

Poj 1050 To the Max

【关键字】

动态规划

【摘要】

读入一个n*n的数组,从里面任意截取一个矩阵,使得矩阵所包含的数字的和最大.

【正文】

1、题目描述

To the Max

Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K

Total Submissions: 17636 Accepted: 8984

Description

Given a two-dimensional array of positiveand negative integers, a sub-rectangle is any contiguous sub-array of size 1*1or greater located within the whole array. The sum of a rectangle is the sum ofall the elements in that rectangle. In this problem the sub-rectangle with thelargest sum is referred to as the maximal sub-rectangle.

As an example, the maximal sub-rectangle ofthe array:

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

is in the lower left corner:

9 2

-4 1

-1 8

and has a sum of 15.

Input

The input consists of an N * N array ofintegers. The input begins with a single positive integer N on a line byitself, indicating the size of the square two-dimensional array. This isfollowed by N^2 integers separated by whitespace (spaces and newlines). Theseare the N^2 integers of the array, presented in row-major order. That is, allnumbers in the first row, left to right, then all numbers in the second row,left to right, etc. N may be as large as 100. The numbers in the array will bein the range [-127,127].

Output

Output the sum of the maximalsub-rectangle.

Sample Input

0 -2 -7 0 9 2 -6 2

-4 1 -4 1 -1

8 0-2

Sample Output

Source

Greater New York 2001

2、算法分析

这个题目很经典的说，O（N^3）的DP。

首先偶们考察这样的题目，简化版：

已知一列数，求任意连续若干个数和的最大值。

SAMPLE： 3 2 -6 2 -1 7

原数3 2 -6 2 -1 7

处理3 5 -1 2 1 8

因为是连续若干个自然数的和，那么，前面的某个数字取与不取的条件在于：以前面这

个数字为结尾的连续数的和最大值是否大于0，如果大于0，那么这个数字必然要会出现

在包括数字的序列中，否则无法做到最大。

所以，显然。处理的原则是maxn[i]=max{0,maxn[i-1]}+a[i];由于无须记录位置。所以，可以直接用一个变量sum代替maxn数组。O(n)的扫描即可。

单列数字的问题解决了，下面我们考察多列数字的

sample:

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

我们可以将多列数字转换成单列数字来做！可以这样设想，结果是一个长方形，我们把

他压扁，使得宽为1。

引入辅助数组st,st[i][j]代表第i列从第1行开始的数字累加到第j行的值。那么，我们

每次压扁的时候，就可以用st[i][j]-st[i][k-1]来表示第i列从第k个数字累加到第j个

数字的值。达到压缩的效果。然后用上面单列数字的方法来做。算法时间复杂度O(N^3)

3、源码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define mt 101


void main()
{
	int a[mt][mt];
	int st[mt][mt];
	int p,k,n,i,j,sum,maxn;
	scanf("%d",&n);
	for (i=1;i<=n;i++)
		for (j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	memset(st,0,sizeof(st));
	for (i=1;i<=n;i++)
		for (j=1;j<=n;j++)
			st[i][j]=st[i][j-1]+a[j][i];
	maxn=0;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		for (j=i;j<=n;j++)
		{
			sum=st[1][j]-st[1][i-1];			
			for (k=2;k<=n;k++)
			{
				if (sum>0)
					sum+=st[k][j]-st[k][i-1];
				else
					sum=st[k][j]-st[k][i-1];
				if (sum>maxn) maxn=sum;
			}
		}
	}
	printf("%d\n",maxn);
}