图的邻接矩阵表示以及深度、广度优先遍历

本文介绍了图这种重要的数据结构,包括无向图和有向图的概念。详细阐述了深度优先遍历和广度优先遍历的过程,并给出了具体的遍历结果。对于无向图G1,深度优先遍历结果为A C B D F G E,广度优先遍历结果为A C D F B G E;有向图G2则分别为A B C E D F G。文章还暗示会提供相关代码实现。

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图是一种重要的数据结构,主要由顶点和边组成,一般根据边是否为双向分为无向图和有向图。


G1为无向图,G2为有向图。


1、深度优先遍历

假设初始状态是图中所有顶点均未被访问,则从某个顶点v出发,首先访问该顶点,然后依次从它的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍历图,直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。 若此时尚有其他顶点未被访问到,则另选一个未被访问的顶点作起始点,重复上述过程,直至图中所有顶点都被访问到为止。

G1 的深度优先遍历结果为A C B D F G E ,G2为A B C E D F G 

2、广度优先遍历

从图中某顶点v出发,在访问了v之后依次访问v的各个未曾访问过的邻接点,然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点,并使得“先被访问的顶点的邻接点先于后被访问的顶点的邻接点被访问,直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。如果此时图中尚有顶点未被访问,则需要另选一个未曾被访问过的顶点作为新的起始点,重复上述过程,直至图中所有顶点都被访问到为止。

### 使用邻接矩阵存储并进行广度优先遍历 #### 广度优先遍历简介 宽度优先遍历(Breadth-First Search, BFS)是一种用于论和树论中的基本查找搜索算法,广泛应用于各种算法中作为基础工具[^1]。 #### 邻接矩阵表示法 对于一个具有 \( n \) 个顶点的无向或有向,可以使用大小为 \( n \times n \) 的二维数组来表示。如果存在一条从顶点 \( i \) 到顶点 \( j \) 的边,则设置 `matrix[i][j]=1`;否则设为0。这种表示方法称为邻接矩阵。 #### 实现广度优先遍历 为了执行基于邻接矩阵广度优先遍历,通常会采用队列数据结构辅助操作: ```python from collections import deque def bfs_adj_matrix(matrix, start_vertex): visited = set() # 记录已访问节点集合 queue = deque([start_vertex]) # 初始化队列并将起始顶点加入其中 while queue: vertex = queue.popleft() if vertex not in visited: print(f'Visiting {vertex}') # 处理当前顶点的操作 visited.add(vertex) for neighbor_index, edge_value in enumerate(matrix[vertex]): if edge_value and (neighbor_index not in visited): queue.append(neighbor_index) # 示例用法 if __name__ == "__main__": adj_matrix_example = [ [0, 1, 0, 0], [1, 0, 1, 1], [0, 1, 0, 0], [0, 1, 0, 0] ] bfs_adj_matrix(adj_matrix_example, 0) ``` 上述代码展示了如何利用Python内置模块collections.deque创建双端队列来进行高效的入队/出队操作,并通过循环迭代完成整个过程直到所有可达顶点都被处理完毕[^2]。
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