Stanford 机器学习笔记 Week5 Neural Networks: Learning

Cost Function and Backpropagation

Cost Function

在求取神经网络权重矩阵时，第一步也是要先写出cost function。它的cost function就是带rugularization

的logistic regression的加强版，因为在多种类分类中每个数据不再只有一个输出y(i)，而是有K个0/1输出组

成一个向量（K为种类数），因此神经网络的cost function为：

注意后面的regularization部分仍然不计算bias unit（θ0）

Cost Function and Backpropagation

同样，在做gradient descent时需要先知道J(θ)以及每个参数关于J(θ)的偏导数，包括每层的权重矩阵（L）

中的每个元素（i，j），是个3重循环。

用δl，j表示第l层第j节点对最终结果的残差有多少影响。首先最后一层很好计算，使用δ(last) = a(last) - y即

可。计算隐藏层的δ可以使用以下公式：

！上图有错误：g’(z) = g(z) * (1 - g(z)）

证明可以看这里：http://blog.youkuaiyun.com/abcjennifer/article/details/7758797

需要记住的就是J(θ)关于权重参数Θ(l,i,j)的偏导数就是a(l,j),*δ(l+1,.i)。注意不需要求δ(1)，因为第一层是输

入层，不需要修改。

整体的back propagation算法如下图所视：

注意for i = 1 to m中的i和下面的i没有关系，这里有歧义。

上述矩阵中，a(i)(除最后一层外），D是包含bias unit的，z和δ是不包含bias unit的。

最后计算出的D矩阵就是所要的偏导数矩阵。

Backpropagation in Practice

Implementation Note: Unrolling Parameter

fminunc的语法为：

optTheta = fminunc（@(t)costfunction(t, X, y, lambda), initial_theta, options）

[ J, grad ] = costfunction(theta, X, y, lambda)

在logistic regression中，grad，initial_theta，theta都是向量，而到了神经网络中这些都变成了矩阵，这

里讲一种方法把这些矩阵转换为向量。在octave中使用A = A(:)就可以把一个矩阵转换成列向量，使用A =

reshape(A, (m,n)）就可以把A还原回m*n矩阵。

因此，[ J, gradVec ] = costfunction(thetaVec, X, y, lambda) 的过程为：

1.reshape thetaVec 得到初始权重矩阵
2.通过forward/backward propagation得到偏导数矩阵D
3.把D转换成向量gradVec返回

Gradient Checking

在编写backward propagation时有可能出现bug，即使看起来J(θ)确实在递减，其中也可能隐含着错误。本

节介绍一种方法来确定所求的偏导矩阵是否正确。

一种估计J(θ)在θ点导数的方法：

取e为极小值（通常10^-4），连接J(θ-e)和J(θ+e)两点，认为该直线的斜率就是在θ点的导数。

当θ包含多个参数时依然可以使用这种方法：

最后检查这个估计值是否约等于求出的偏导矩阵D

Random Initialization

theta的初始值不能随便取，如果全取0的话，不仅每个ai，j会相等，它们关于J（θ）的偏导数也相等，因此

每一层的theta值依然会保持相等。为了解决这个问题，对于theta的初值要随机初始化为[-ε,ε]之间的随机

数。

使用Theta = rand(m,n) * (2*ε) - ε。 其中rand()生成（-1，1）之间的数。

Putting It Together

在构造神经网络时，一般来说每个隐藏层的节点数量最好相同，而且多于输入层节点数量，通常是数量越多

效果越好。

总的步骤为：

1.随机初始化权重矩阵

2.对于每个数据x(i)，使用forward propagation计算hθ(x(i))

3.使用hθ(x(i))计算J(θ)

4.使用backward propagation计算偏导数矩阵D

5.使用Gradient Check对D矩阵进行检查

6.使用gradient descent+backward propagation求出最佳权重矩阵

尽管J(θ)是non-convex的，gradient descent等算法一般会找到一个非常优的局部最优解（尽管可能不是全

局最优解）。

Application of Neural Networks

Autonomous Driving

本节介绍了一个神经网络的应用：自动驾驶，原理是把一个人在一段时间内的驾驶操作序列作为训练集，每

秒钟20次用照相机记录车前方道路情况，及此时驾驶员做的驾驶操作。接下来就是用神经网络进行决策了。