15年国赛 切开字符串

标题：切开字符串

Pear有一个字符串，不过他希望把它切成两段。
这是一个长度为N（<=10^5）的字符串。
Pear希望选择一个位置，把字符串不重复不遗漏地切成两段，长度分别是t和N-t（这两段都必须非空）。

Pear用如下方式评估切割的方案：
定义“正回文子串”为：长度为奇数的回文子串。
设切成的两段字符串中，前一段中有A个不相同的正回文子串，后一段中有B个不相同的非正回文子串，则该方案的得分为A*B。

注意，后一段中的B表示的是：“...非正回文...”，而不是: “...正回文...”。
那么所有的切割方案中，A*B的最大值是多少呢？

【输入数据】
输入第一行一个正整数N（<=10^5）
接下来一行一个字符串，长度为N。该字符串仅包含小写英文字母。
【输出数据】
一行一个正整数，表示所求的A*B的最大值。
【样例输入】
10
bbaaabcaba
【样例输出】
38
【数据范围】
对于20%的数据，N<=100
对于40%的数据，N<=1000
对于100%的数据，N<=10^5

题比较难，有一定思维难度，而且代码实现复杂。首先，我们肯定要求出每个位置为中心的回文半径，这个可以用Manacher算法或Hash。接下来，我们需要求出每个前缀有多少不同的回文串（这里提到的所有回文串都是“正回文串”即长度为奇数），然后求出后缀有多少不同的回文串，和后缀有多少不同的子串。对于回文串的问题，由Manacher算法的引理可知，不同的回文串个数是O(N)的，因此我们可以暴力找出所有回文串，用一个set维护Hash值。接下来，求出这些子串在原串中第一次和最后一次出现的位置，就可以知道前缀和后缀分别有多少不同的回文串。这一步可以先对原串构建后缀数组，然后在后缀数组中这个子串对应了连续的一段，求区间RMQ即可得到第一次、最后一次出现位置。然后处理“后缀的不同子串”数量。我们知道，如果是求一个完整字符串的不同子串，则构建后缀数组后，总子串数-Σ（相邻两项的LCP）就是答案。因此这儿我们考虑从后往前逐个插入后缀，动态维护当前答案——用一个平衡树或者set维护目前为止所有后缀的序列，每当插入一个字符串时，只有O(1)个相邻的LCP被改动，可以通过lower_bound找出前驱后继然后维护有关操作。整个算法复杂度为O(Nlog^2N)，瓶颈在查找“后缀数组中连续的一段”那边。对于20%的数据是完全暴力，对于40%的数据也不难设计回文半径、不同子串的O(N^2)算法。

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