动态规划思想：石子合并问题

最新推荐文章于 2025-06-18 17:16:48 发布

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探讨了如何使用动态规划算法解决石子合并问题，旨在找到合并n堆石子的最小及最大得分，通过实例对比贪心算法，揭示其局限性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

描述：

在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。

规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。

试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

开始以为通过贪心算法可能很快解决问题，可是是行不通的。

首先我们可以把这么堆石子看成一列

我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100

      •按照贪心法，合并的过程如下：
     每次合并得分
      第一次合并 7 6   5   7    100   =11
   　第二次合并 7   11     7 100=18
    　第三次合并 18    7 100 =25
      第四次合并   25   100 =125

总得分＝11＋18＋25+125＝179

•另一种合并方案

       每次合并得分
　　第一次合并 7 6   5   7    100   ->13
       第二次合并 13   5     7 100->12
       第三次合并 13    12 100 ->25
       第四次合并   25   100 ->125

总得分＝13＋12＋25+125＝175

显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。

如果N－1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解，那么经这样的N－1次合并后的得分总和必然是最优的。

　　 因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。

在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。

　　　我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。

　　　当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;

　　当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);

　　当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));

　　　当合并的石子堆为4堆时......

代码实现如下：

开始以为通过贪心算法可能很快解决问题，可是是行不通的。

首先我们可以把这么堆石子看成一列

我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100

总得分＝11＋18＋25+125＝179

•另一种合并方案

       每次合并得分
　　第一次合并 7 6   5   7    100   ->13
       第二次合并 13   5     7 100->12
       第三次合并 13    12 100 ->25
       第四次合并   25   100 ->125

总得分＝13＋12＋25+125＝175

显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。

如果N－1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解，那么经这样的N－1次合并后的得分总和必然是最优的。

　　 因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。

在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。

　　　我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。

　　　当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;

　　当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);

　　当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));

　　　当合并的石子堆为4堆时......

代码实现如下：

开始以为通过贪心算法可能很快解决问题，可是是行不通的。

首先我们可以把这么堆石子看成一列

我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100

总得分＝11＋18＋25+125＝179

•另一种合并方案

       每次合并得分
　　第一次合并 7 6   5   7    100   ->13
       第二次合并 13   5     7 100->12
       第三次合并 13    12 100 ->25
       第四次合并   25   100 ->125

总得分＝13＋12＋25+125＝175

显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。

如果N－1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解，那么经这样的N－1次合并后的得分总和必然是最优的。

　　 因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。

在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。

　　　我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。

　　　当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;

　　当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);

　　当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));

　　　当合并的石子堆为4堆时......

代码实现如下：

#include<stdio.h>
 #define N 100
 /*
 *求合并过程中
 *最少合并堆数目
 **/
 int MatrixChain_min(int p[N],int n)
{
        //定义二维数组m[i][j]来记录i到j的合并过成中最少石子数目
        //此处赋值为-1
 
        int m[N][N];
         for(int x=1;x<=n;x++)
        for(int z=1;z<=n;z++)
        {
            m[x][z]=-1;           
        }

     int min=0;

                                                          //当一个单独合并时，m[i][i]设为0，表示没有石子
     for(int g = 1;g<=n;g++) m[g][g]=0;

                                                          //当相邻的两堆石子合并时，此时的m很容易可以看出是两者之和
     for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int j=i+1;
        m[i][j]=p[i]+p[j];
    }

                                                          //当相邻的3堆以及到最后的n堆时，执行以下循环
    for(int r=3; r<=n;r++)
         for(int i=1;i<=n-r+1;i++)
         {
             int j = i+r-1;                               //j总是距离i   r-1的距离
             int sum=0;
                                                          //当i到j堆石子合并时最后里面的石子数求和得sum
             for(int b=i;b<=j;b++)
                 sum+=p[b];

             // 此时m[i][j]为i~j堆石子间以m[i][i]+m[i+1][j]+sum结果，这是其中一种可能，不一定是最优
             //要与下面的情况相比较，唉，太详细了

             m[i][j] = m[i+1][j]+sum;

             //除上面一种组合情况外的其他组合情况
             for(int k=i+1;k<j;k++)
             {
                 int t=m[i][k]+m[k+1][j]+sum;
                 if(t<m[i][j])
                     m[i][j] = t;

             }
         }
          //最终得到最优解
         min=m[1][n];
         return min;

        
}

/*
 *求合并过程中
 *最多合并堆数目
 **/

  int  MatrixChain_max(int p[N],int n)
{
       int m[N][N];
         for(int x=1;x<=n;x++)
        for(int z=1;z<=n;z++)
        {
            m[x][z]=-1;           
        }


     int max=0;
     //一个独自组合时
    for(int g = 1;g<=n;g++) m[g][g]=0;
    //两个两两组合时
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int j=i+1;
        m[i][j]=p[i]+p[j];
    }

    for(int r=3; r<=n;r++)
         for(int i=1;i<=n-r+1;i++)
         {
             int j = i+r-1;
             int sum=0;
             for(int b=i;b<=j;b++)
                 sum+=p[b];
             m[i][j] = m[i+1][j]+sum;
             
             for(int k=i+1;k<j;k++)
             {
                 int t=m[i][k]+m[k+1][j]+sum;
                 if(t>m[i][j])
                     m[i][j] = t;

             }
         }

         max=m[1][n];
         return max;

        
}
int main()
{
      int stone[N];
      int min=0;
      int max=0;
      int n;
      scanf("%d",&n);
      for(int i=1;i<=n;i++)
          scanf("%d",&stone[i]);

      min= MatrixChain_min(stone,n);
      max= MatrixChain_max(stone,n);

      //因为题目要求圆的原因，要把所有情况都要考虑到，总共有n种情况。
      for(int j=1;j<=n-1;j++)
      {
           int min_cache=0;
           int max_cache=0;
           int cache= stone[1];
           for(int k=2;k<=n;k++)
           {
               stone[k-1]=stone[k];
           }
           stone[n]=cache;
           min_cache= MatrixChain_min(stone,n);
           max_cache= MatrixChain_max(stone,n);
           if(min_cache<min)
               min=min_cache;
           if(max_cache>max)
               max=max_cache;
      }
   
    printf("%d\n",min);
    printf("%d\n",max);

    return 1;

}