FZU 2282 错排问题dp

最新推荐文章于 2020-12-25 19:55:24 发布

Bahuia

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本文探讨了如何解决一类特定的排列组合问题，利用基础错排动态规划算法，并结合组合数学中的前缀和技巧，有效地计算出满足条件的排列数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

题目链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2282
求1~n的全排列a中，a[i]==i的位置数目>=k的方案数有多少。

思路：

基础错排dp，与HDU 2049几乎完全一样，多了一个前缀和的操作。

代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1e4 + 10;
const LL MOD = 1e9 + 7;

LL dp[MAXN], fac[MAXN], inv[MAXN];

LL pow_mod(LL a, LL n) {
    LL res = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

void init() {
    fac[0] = inv[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 10000; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
        inv[i] = pow_mod(fac[i], MOD - 2);
    }
}

LL C(int n, int k) {
    return fac[n] * inv[k] % MOD * inv[n - k] % MOD;
}

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    init();
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 10000; i++) {
        LL t = ((i - 1) % MOD + MOD) % MOD;
        dp[i] = (dp[i - 1] * t) % MOD;
        if (i >= 2) {
            dp[i] = (dp[i] + t * dp[i - 2] % MOD) % MOD;
        }
    }
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        int n, k;
        scanf("%d%d", &n, &k);
        LL ans = 0;
        for (int i = 0; i <= n - k; i++) {
            LL tmp = C(n, i) * dp[i] % MOD;
            ans = (ans + tmp) % MOD;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}