哈夫曼树，哈夫曼编码

哈夫曼树又称最优树（二叉树），是一类带权路径最短的树。构造这种树的算法最早是由哈夫曼(Huffman)1952年提出，这种树在信息检索中很有用。

结点之间的路径长度：从一个结点到另一个结点之间的分支数目。

树的路径长度：从树的根到树中每一个结点的路径长度之和。

结点的带权路径长度：从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。

树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和，记作：

                                

    WPL为最小的二叉树就称作最优二叉树或哈夫曼树。

    完全二叉树不一定是最优二叉树。

    哈夫曼树的构造：

（1）根据给定的n个权值{w₁,w₂,...,w_n}构造n棵二叉树的集合F={T₁,T₂,...,T_n}，其中Ti中只有一个权值为w_i的根结点，左右子树为空；
（2）在F中选取两棵根结点的权值为最小的数作为左、右子树以构造一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根结点的权值为左、右子树上根结点的权值之和。
（3）将新的二叉树加入到F中，删除原两棵根结点权值最小的树；
（4）重复（2）和（3）直到F中只含一棵树为止，这棵树就是哈夫曼树。

例1：

例2：

结点的存储结构:

构造哈夫曼树的算法说明：

#define n                  /* 叶子总数 */
#define  m  2*n-1      /* 结点总数 */ 
证：由性质3，叶子结点数 n₀=n₂+1，故哈夫曼树结点总数为 n₀+n₂=n₀+(n₀-1)=2*n₀-1

例3 在解某些判定问题时，利用哈夫曼树获得最佳判定算法。

（a)

 

WPL=0.05*1+0.15*2+0.4*3+0.3*4+0.1*4=3.15

（b)(c)

WPL=0.4*1+0.3*2+0.15*3+0.05*4+0.1*4=2.05                    WPL=0.05*3+0.15*3+0.4*2+0.3*2+0.1*2=2.2

哈夫曼编码

    从哈夫曼树根结点开始，对左子树分配代码“0”，右子树分配代码“1”，一直到达叶子结点为止，然后将从树根沿每条路径到达叶子结点的代码排列起来，便得到了哈夫曼编码。

例，对电文 EMCAD 编码。若等长编码，则

    EMCAD => 000001010011100 共15位

设各字母的使用频度为 {E,M,C,A,D}={1,2,3,3,4}。用频度为权值生成哈夫曼树，并在叶子上标注对应的字母，树枝分配代码“0”或“1”:

  

各字母的编码即为哈夫曼编码：  EMCAD => 000001011011 共12位