YBROJ&洛谷P3211：XOR和路径（线性基，期望dp）

解析

不难想到第一步利用期望线性性逐位考虑。
然后就变成求一个布尔变量的期望了，可以直接转化为求概率。

我一开始的想求从1出发异或和为0/1的概率，然而这个东西在原点1附近的转移特别别扭…老出现概率大于1的迷惑情况。
然后我就不会了

正解是反过来想，设 $f_x$ 为从 $x$ 出发到 $n$ 的路径异或和为1的概率，然后像类似游走的方法转移就行了。

为什么要这样？
首先，本题的图必然联通，此时，从一个点 $x$ 必然可以走到 $n$，但从 $1$ 不一定能走到 $x$。
比如说 1-3-2 这样的图中，1就是走不到2的。
那么在题解的定义中，$1-f_x$ 就使 $x->n$ 的路径异或和为 $0$ 的概率，而在我的定义中，$1-f_x$ 则是 $1$ 走不到 $x$ 和 $1->x$ 路径异或和为0的概率和。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define OK debug("OK\n")
inline ll read(){
  ll x(0),f(1);char c=getchar();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
  return x*f;
}
const int N=100+20;
const int mod=1e9+7;
int n,m;
struct node{
  int to,nxt,w;
}p[N*N<<1];
int fi[N],cnt;
inline void addline(int x,int y,int w){
  p[++cnt]=(node){y,fi[x],w};fi[x]=cnt;
}
int mi[40],o=30;
double a[N][N],ans,f[N];
int d[N];
void gauss(){
  for(int i=1;i<=n;i++){
    int id=i;
    for(int j=i+1;j<=n;j++) if(abs(a[j][i])>abs(a[id][i])) id=j;
    if(id!=i) swap(a[id],a[i]);
    for(int j=i+1;j<=n;j++){
      for(int k=i+1;k<=n+1;k++) a[j][k]-=a[j][i]/a[i][i]*a[i][k];
    }
  }
  for(int i=n;i>=1;i--){
    f[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
    for(int j=1;j<i;j++) a[j][n+1]-=a[j][i]*f[i];
  }
  return;
}
void work(int k){
  memset(a,0,sizeof(a));
  for(int i=1;i<=n;i++){
    a[i][i]=1;
    if(i==n) continue;
    for(int o=fi[i];~o;o=p[o].nxt){
      int j=p[o].to;
      int op=(p[o].w&mi[k])?1:0;
      if(op){
	a[i][n+1]+=1.0/d[i];
	a[i][j]+=1.0/d[i];
      }
      else{
	a[i][j]+=-1.0/d[i];
      }
    }
  }
  //for(int i=1;i<=n;i++){
  //for(int j=1;j<=n+1;j++) printf("%.2lf ",a[i][j]);
  //puts("");
  //}
  gauss();
  ans+=mi[k]*f[1];
//printf("k=%d f=%lf\n",k,f[1]);
}

signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("a.in","r",stdin);
  freopen("a.out","w",stdout);
#endif
  memset(fi,-1,sizeof(fi));cnt=-1;
  mi[0]=1;
  for(int i=1;i<=o;i++) mi[i]=mi[i-1]<<1;
  n=read();m=read();
  for(int i=1;i<=m;i++){
    int x=read(),y=read(),w=read();
    d[x]++;addline(x,y,w);
    if(x^y) d[y]++,addline(y,x,w);
  }
  for(int i=0;i<=o;i++) work(i);
  printf("%.3lf\n",ans);
}
/*
*/