《编程之美》读书笔记连载（2）

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原创最新推荐文章于 2026-07-19 00:15:00 发布 1.4k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

n 个烙饼经过翻转后的状态可组成一棵树。寻找翻转最少次数，相当于在树中搜索层次最低的某个节点。

由于每层的节点数，成几何数量级增长，在n 较大时，使用广度优先遍历树，会无法有足够的内存来保存中间结果（考虑到每层的两个节点，可以通过旋转，移位等操作互相转换，也许每层的状态或许可以用一个函数来生成，这样的话也就可以采用广度优先方法。）。因而采用深度优先。但这棵树是无限深的，因而必须找到最少翻转次数的上限值，当深度达到该值时不再继续往下搜索。最少翻转次数，必然大等于任何一种翻转方案所需的翻转次数，因而只要构造出一种方案，取其翻转次数即可。最简单的方案就是：对最大的未就位的烙饼，将其翻转，再找到最终结果中其所在的位置，翻转一次使其就位。因此，对编号在n-1 和2 之间的烙饼，共翻转了2*(n-2) 次，剩下0 和1 号烙饼最多只要翻转1 次，因而最少翻转次数的上限值是：2*(n-2)+1=2*n-3 （最新进展：上限值为18/11*n ），当然，最好还是直接计算出采用这种方法的翻转次数做为初值。

减少遍历次数：

1 避免出现已处理过的状态一定会减少遍历吗？答案是否定的，深度优先遍历，必须遍历完一个子树，才能遍历下一个子树，如果一个解在某层比较靠后位置，若不允许处理已出现过的状态时，可能要经过很多次遍历才能找到这个解，但允许处理已出现过的状态时，可能会很快找到这个解，并减小“最少翻转次数的上限值”，使更多的分支能被剪掉，从而减少遍历。比如，说两个子树A 、B ，搜索子树A ，100 次后可得到一个解对应翻转次数20 ，搜索子树B ，20 次后可得到翻转次数为10 的解，不允许处理已出现过的状态，就会花100 次遍历完子树A 后，才开始遍历B ，但允许翻转回上一次状态，搜索会在A 、B 间交叉进行，就可能只要70 次找到子树B 的那个解（翻转次数为10+2=12 ），此时，翻转次数比较少，能减小更多的搜索，搜索次数明显减少。以书中的{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0} 为例，按后面的程序，需要搜索195 次，若可以走回头路，只要搜索116 次。

2 如果最后的几个烙饼已经就位，只须考虑前面的几个烙饼。对状态(0,1,3,4,2,5,6) ，编号为5 和6 的烙饼已经就位，只须考虑前5 个烙饼，即状态(0,1,3,4,2) 。如果一个最优解，从某次翻转开始将移动了一个已经就位的烙饼，那么，这个解法，从这次翻转开始得到的一系列状态，从中将这个烙饼，得到新的状态，可以设计出一个新的解法对应这系列新的状态。该解法所用的翻转次数不会比原来的多。

3 估计每个状态还需要翻转的最少次数（即下限值），加上当前的深度，如果大等于上限值，就无需继续遍历。这个下限值可以这样确定：从最后一个位置开始，往前找到第一个与最终结果位置不同的烙饼编号（也就是说排除最后几个已经就位的烙饼），从该位置到第一个位置，计算相邻的烙饼的编号不连续的次数，再加上1 。每次翻转最多只能使不连续的次数减少1 ，但不少人会忽略掉这个情况：最大的烙饼没有就位时，必然需要一次翻转使其就位，而这次翻转却不改变不连续次数。（可以在最后面增加一个更大的烙饼，使这次翻转可以改变不连续数。）如：对状态(0,1,3,4,2,5,6) 等同于状态(0,1,3,4,2) ，由于1 、3 和4 、2 不连续，因而下限值为2+1=3 。下限值也可以这样确定：在最后面增加一个已经已就位的最大的烙饼，然后再计算不连续数。如：(0,1,3,4,2) ，可以看作(0,1,3,4,2,5) ，1 和3 、4 和2 、2 和5 这三个不连续，下限值为3 。

4 翻转次数的上限值越大，搜索次数就越多，尽快找到一个接近最优解的解，能减少大量的搜索次数。可以采用贪心算法，通过调整每次所有可能翻转的优先搜索顺序，来找到这样的解。比如，优先搜索使“下限值”减少的翻转，其次是使“下限值”不变的翻转，最后才搜索使“下限值”增加的翻转。对“下限值”不变的翻转，还可以根据其下次的翻转对“下限值”的影响，再重新排序。由于进行了优先排序，翻转回上一次状态能减少搜索次数的可能性进一步的降低。

5 剪枝：第m 次翻转时，“上限值”为min_swap 。

（1.3_pancake_final.cpp 用到的剪枝条件）

如果在某个位置的翻转得到一个解（即翻转次数为m ），则其它位置可以不搜索（因为在其它位置的翻转，能得到的最少翻转次数必然大等m ）。

如果在某个位置的翻转后，“下限值”为k ，并且 k+m>=min_swap ，则对所有的使新“下限值”kk 大等于k 的翻转，都有 kk+m>=min_swap ，因而都可以不搜索。

另外，由于翻转时，只有两个位置的改变才对“下限值”有影响，因而可以记录每个状态的“下限值”，翻转时，通过几次比较，就可以确定新的“下限值”，没必要从新开始计算新状态的“下限值”。

针对书上的例子，最终的代码，只调用了搜索函数29 次，翻转函数66 次（这个例子比较特殊，min_swap 直接指定2*10-2=18 时，调用搜索函数29 次，翻转函数56 次）。

另外，判断不连续次数时，最好写成 -1<=x && x<=1 ，而不是x==1 || x==-1 。对于 int x; a<=x && x<=b ，编译器可以将其优化为 unsigned (x-a) <= b-a 。我最初写的代码用的类型都是size_t ，就手动优化了。后面给出两个文件（1.3_pancake.cpp 和1.3_pancake_final.cpp ）完整代码。可以用前一个测试“是否允许翻转回上次状态”对搜索次数的影响。

（补充：

在网上下了“第 6 刷”的源代码，结果编译时仍是一堆错误，主要错误有：

1 Assert 应该是 assert

2 m_arrSwap 未被定义，应该改为 m_SwapArray

3 Init 函数两个 for 循环，后一个没定义变量 i ，应该将 i 改为 int i

另外，每运行一次 Run 函数，就会调用 Init 函数，就会申请新的内存，但却没有释放原来的内存，造成内存泄漏。

程序的低效主要是由于进行剪枝判断时，没有考虑好边界条件。

1 if(step + nEstimate > m_nMaxSwap) 这个最好取大等于号。

2 判断下界时，如果最大的烙饼不在最后一个位置，则要多翻转一次，因而在 LowerBound 函数 return ret; 前插入一行 if (pCakeArray[nCakeCnt-1]!=nCakeCnt-1) ret++; 。

3 n 个烙饼，翻转最大的 n-2 烙饼最多需要 2*(n-2) 次，剩下的 2 个最多 1 次，因而上限值为 2*n-3 ，因此， m_nMaxSwap 初值可以设为 2*n-3+1=2*n-2 ，这样每步与 m_nMaxSwap 的判断就可以取大等于号。

1 和 2 两处任改一处都能使搜索次数从 172126 降到两万多，两处都改，搜索次数降到 3475 ，再改动第 3 处，搜索次数最终为 2989 。

P24 页，“目前找到的最大下界是 15n/14 ”，这句有问题，没说清楚这个“下界”是指什么，会认人误以为，任意一个排列的最少翻转次数。这应该是后面提到的“第 n 个烙饼数”的下界。