递归详解（一）全排列问题 数据结构-算法解析-浙大-PAT

递归——全排列问题（Full Permutation）

​ 废话少说，首先看定义：

全排列(Full Permutation)，一般把1~n这n个整数按某个顺序摆放的结果称为这n个整数的一个排列 ，而全排列指这n个整数能形成的所有排列。例如对1、2、3这三个整数来说， (1, 2, 3)、(1, 3, 2)、(2, 1, 3)、(2, 3, 1)、(3, 1, 2)、(3, 2, 1)就是1~3的全排列。

​ 现在需要实现按字典序从小到大的顺序输出 1~n 的全排列，其中 (a1, a2, …, an) 的字典序小于 (b1, b2, …, bn) 是指存在一个 i ，使得 a1=b1, a2=b2, …, a(i-1) = b(i-1)、ai<bi 成立。因此上面n=3的例子就是按字典序从小到大的顺序给出的。

​ 按字典序排列用大白话的意思就是：任取排列结果中的两个元素作比较，例如(2, 1, 3)和(2, 3, 1)，两个元素的第一位相等都是2（比较下一位），第二位 1 < 3，所以按从小到大的顺序排列时， (2, 1, 3)一定排在(2, 3, 1)前面。

​ 用递归的角度去考虑，如果把问题描述成

”输出1~n这n个整数的全排列“

​ 那么它就可以被分为若干个子问题：

”输出以1开头的全排列“、”输出以2开头的全排列“ … ”输出以n开头的全排列“。

在实现代码前，我们需梳理一下重要逻辑：

1. 我们需要一个int型数组 P， 来存放当前的排列；
2. 排列中的元素不能重复，例如1~3的全排列，是不能出现（1，2，2）这样的元素的，每个数字能且仅能出现一次。于是我们可以设定一个bool型的数组 Table[x]，数组的下标代表当前的数字，默认值为false，当整数x已经在当前排列中使用过的时候，我们就将 Table[x] 的值设置为true。
3. 当我们按顺序往P的第1位到第n位中填入数字的时候，不妨假设当前已经填好了P[1] ~ P[index-1]，正准备填P[index]。显然我们需要for循环遍历1~n，来确定当前的数字x是否在已经枚举的数字中出现过（即Table[x] == false）。若出现过，我们就跳过这个数字去看下一个数字Table[x+1]，若没有出现过，就把他填入P[index]，同时将Table[x]的值置为true，然后进入递归去处理第index+1位；当排列的全部递归完成时，再将Table[x]的所有值还原为false，以便下一次for循环的判断。
4. 在递归进行的最后的时候，我们需要规定一个跳出的边界的条件。当P的index到达 n+1 时，说明P的第1~n位都已经填好了，此时便可跳出递归。

如果你已经理解了上述的逻辑推理，可以试着自己先用代