在有向图中找出所有简单环--Johnson算法

最新推荐文章于 2025-08-29 17:16:54 发布

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#算法 #数据结构 #图论

Johnson算法是一种1975年由B. Johnson提出的用于在有向图中查找所有简单环的算法，时间复杂度为O((n+e)(c+1))。本文概述算法原理，提供代码解析和实例解释。

注：本算法和计算图所有结点对最短路径的Johnson算法不同。

综述

Johnson算法由B. Johnson发表于1975年，用于在一个有向图中寻找所有简单环。时间复杂度上界为O((n+e)(c+1))，空间复杂度为O(n+e)，其中n为顶点数，e为边数，c为存在环数。在算法执行时，每两个连续的环的输出之间的时间不会超过O(n+e)。

*常用的此类算法的复杂度比较如下：

Tiernan - O(V.const^V)
Tarjan - O(VEC)
Johnson - O(((V+E)C)
Szwarcfiter and Lauer - O(V+EC)

所谓的简单环，即除了第一个和最后一个顶点，其余所有顶点在路径中只出现一次。这里排除了包括像v->v这样的自循环的边和在两个顶点之间的多条边的情况。本算法沿用Tiernan算法的记号，每个简单环都是由根顶点为s的子图构建的，这个子图由s和“大于”s的顶点构成。因此每个输出都根据路径的最小点s来分类。

当从s开始遍历路径，把一个顶点v加入这个路径时，会把这个顶点的状态设为“阻塞”（blocked），直到从v到s的所有路径都完成检索，v会一直保持这种状态，这样保证了一个顶点不会被重复添加。另外除非一个顶点是构造简单环路径的最小的点，这个点不会成为路径的根顶点。这样保证不会无意义的搜索。

算法的输入是一个图结构，图的表示是邻接表形式。假设每个顶点用从1到n的一个数字表示，图表示为AG，则AG(v)是一个数组表示第v个顶点的邻接顶点。算法的过程是这样的：从一个根顶点s开始构建简单环，所经过的路径的顶点保存在一个栈中。算法通过调用CIRCUIT过程添加新顶点，添加时务必将其设置为blocked，并且在过程调用返回时删除这个顶点，但是此时不一定将其阻塞状态去除。