和式

最新推荐文章于 2023-03-16 17:03:23 发布

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本文介绍了求和记号的基本使用，包括其在多重求和中的应用，以及和式计算中的分配律、结合律、广义分配律和交换求和顺序等性质。通过实例演示了如何利用这些性质简化复杂的和式计算。

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一、记号

用求和记号可以很好地将很长的式子变为一个较短的式子。
$a1+a2+a3+⋯+an−1+an=∑i=1naia_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n=\sum_{i=1}^n a_i$
$∑\sum$ 下面是下界，上面是求和的上界。上面的式子也可以这样写：
$a1+a2+a3+⋯+an−1+an=∑1≤i≤naia_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n=\sum_{1 \le i \le n} a_i$
这样的式子迭代性很强，可以多重求和： $∑i(∑jai+bj)\displaystyle\sum_i\Big(\sum_ja_i+b_j\Big)$
假设要算100内奇数平方的和，可以这样写： $[k为奇数]\displaystyle\sum_{k=1}^{100}k^2\ [k为奇数]$ （隐式表达）
也可以这样： $∑k=049(2k+1)2\displaystyle\sum_{k=0}^{49}(2k+1)^2$ （显示表达）
$[P (i)]$ ，表示一个判断条件。
$[P(i)]={1P(i)成立0P(i)不成立[P(i)]=\begin{cases} 1 &P(i)成立 \\ 0 &P(i)不成立 \end{cases}$

例如 $∑d[n∣d]\sum_d [n|d]$ 表示 $n$ 的因数个数。

也就是说和式的条件也可以写在里面：
$a1+a2+a3+⋯+an−1+an=∑iai[1≤i≤n]a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n=\sum_i a_i[1 \le i \le n]$

二、和式的计算

分配律： $∑iai×b=b×∑iai\displaystyle\sum_i a_i\times b=b\times\sum_i a_i$
结合律： $∑i=1nai+∑i=1nbi=∑i=1nai+bi\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=1}^n b_i=\sum_{i=1}^n a_i+b_i$
广义分配律： $∑i(∑jf(i)g(j)[P(i)][Q(j)])=(∑if(i)[P(i)])(∑jg(j)[Q(j)])\displaystyle\sum_i\Big(\sum_jf(i)g(j)[P(i)][Q(j)]\Big)=\Big(\sum_i f(i)[P(i)]\Big)\Big(\sum_j g(j)[Q(j)]\Big)$
交换求和顺序： $∑i(∑jai,j[P(i,j)])=∑j(∑iai,j[P(i,j)])\displaystyle\sum_i\Big(\sum_ja_{i,j}[P(i,j)]\Big)=\sum_j\Big(\sum_ia_{i,j}[P(i,j)]\Big)$

三、应用

求 $∑1≤j<k≤n1k−j\displaystyle\sum_{1\le j<k\le n}{1\over k-j}$ 的值？

$解：原式=∑j=1n−1(∑k=j+1n1k−j)=∑j=1n−1(∑k−j=1n−j1k−j)=∑j=1n−1(∑k=1n−j1k)=∑k=1n(∑j=1n−k1k)=∑k=1n(1k∑j=1n−k1)=∑k=1n1k(n−k)=n∑k=1n1k−1\begin{aligned} 解：原式&=\sum_{j=1}^{n-1}\Big(\sum_{k=j+1}^n{1\over k-j}\Big) \\ &=\sum_{j=1}^{n-1}\Big(\sum_{k-j=1}^{n-j}{1\over k-j}\Big) \\ &=\sum_{j=1}^{n-1}\Big(\sum_{k=1}^{n-j}{1\over k}\Big) \\ &=\sum_{k=1}^{n}\Big(\sum_{j=1}^{n-k}{1\over k}\Big) \\ &=\sum_{k=1}^{n}\Big({1\over k}\sum_{j=1}^{n-k}1\Big) \\ &=\sum_{k=1}^{n}{1\over k}(n-k) \\ &=n\sum_{k=1}^{n}{1\over k}-1 \\ \end{aligned}$
简单的运算把两重循环变为了一重循环，很好的降低了时间复杂度。