LOJ6622 THUPC2019 找树

最新推荐文章于 2021-05-19 22:49:48 发布

Rayment_cc

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分类专栏：多项式矩阵树定理文章标签：神仙题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/As_A_Kid/article/details/90581209

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矩阵树定理

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博客围绕一道神仙题展开，指出该题看似是最优化问题，实则为计数题。解题需用Matrix Tree定理，处理异或卷积时采用FWT变换使数组元素独立求解。还提及不同操作符在二进制位上的FWT方式，给出时间复杂度，并分享优化代码运行时间的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem

loj
猫锟出的神仙题……流下了不学无术的泪水

Solution

这题是个假的最优化，其实是个计数题

要求权值为 $i$ 的生成树个数，不妨考虑操作符全部为异或的情况。计数的话还得用Matrix Tree定理，此时矩阵的元素变成了一个桶，且它们的乘法也应该是异或卷积，然而我们并不会定义异或卷积意义下的逆元。

如果我们把桶FWT了，那么FWT后的数组每一位就都是独立的了，这样就可以把每一位单独列成一个矩阵，用Matrix Tree定理即可求出答案数组相应位置的答案。最后把答案数组IFWT一遍即可得到答案数组。

而对于其他的操作符，就在相应的二进制位上采用相应的FWT方式即可。

时间复杂度 $O(n^32^w+n^2w2^w)$ 。
算了下感觉跑不过，下了个数据发现跑了13s，于是在求行列式的时候加了个如果对角线上有0就直接返回0之后就只需要跑1.4s了。。感觉有点迷

Code

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5010,mod=998244353,inv2=499122177;
template <typename Tp> inline int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f) x=-x;
}
int n,m,l,N,a[80][80],G[80][80][maxn],ans[maxn];
char op[20],s[maxn];
int pls(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int dec(int x,int y){return x<y?x-y+mod:x-y;}
int power(int x,int y)
{
	int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
	  if(y&1)
	    res=(ll)res*x%mod;
	return res;
}
void FWT(int *a,int f)
{
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	  for(int j=0;j<N;j+=(i<<1))
		for(int k=0;k<i;++k)
		{
			if(s[i]=='&')
			  a[j+k]=f?pls(a[j+k],a[j+k+i]):dec(a[j+k],a[j+k+i]);
			if(s[i]=='|')
			  a[j+k+i]=f?pls(a[j+k],a[j+k+i]):dec(a[j+k+i],a[j+k]);
			if(s[i]=='^')
			{
				int x=a[j+k],y=a[j+k+i];
				a[j+k]=pls(x,y);a[j+k+i]=dec(x,y);
				if(!f)a[j+k]=(ll)a[j+k]*inv2%mod,a[j+k+i]=(ll)a[j+k+i]*inv2%mod;
			}
		}
}
void input()
{
	int x,y,v;	
	read(n);read(m);scanf("%s",op+1);
	l=strlen(op+1);N=1<<l;
	for(int i=1;i<=l;i++) s[1<<(i-1)]=op[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		read(x);read(y);read(v);
		G[x][y][v]=dec(G[x][y][v],1);
		G[y][x][v]=dec(G[y][x][v],1);
		++G[x][x][v];++G[y][y][v];
	}
}
int gauss()
{
	int det=1,inv;
	for(int i=1,k;i<n;i++)
	{
		if(!a[i][i])
		{
			k=0;
			for(int j=i;j<n;j++) if(a[j][i]){k=j;break;}
			if(k==0) return 0;
			swap(a[i],a[k]);
		}
		det=(ll)det*a[i][i]%mod;inv=power(a[i][i],mod-2);
		for(int j=i+1;j<n;j++) a[i][j]=(ll)a[i][j]*inv%mod;
		for(int j=i+1;j<n;j++)
		  for(int r=i+1;r<n;r++)
		    a[j][r]=dec(a[j][r],(ll)a[j][i]*a[i][r]%mod);
	}
	return det;
}
int main()
{
	input();
	for(int i=1;i<n;i++)
	  for(int j=1;j<=i;j++)
	  {
	  	FWT(G[i][j],1);
	  	if(j<i) memmove(G[j][i],G[i][j],sizeof(G[i][j]));
	  }
	for(int s=0;s<N;++s)
	{
		for(int i=1;i<n;i++)
		  for(int j=1;j<n;j++)
		    a[i][j]=G[i][j][s];
		ans[s]=gauss();
	}
	FWT(ans,0);
	for(int i=N-1;~i;i--) if(ans[i]) {printf("%d\n",i);return 0;}
	puts("-1");
	return 0;
}