LOJ6622 THUPC2019 找树

博客围绕一道神仙题展开,指出该题看似是最优化问题,实则为计数题。解题需用Matrix Tree定理,处理异或卷积时采用FWT变换使数组元素独立求解。还提及不同操作符在二进制位上的FWT方式,给出时间复杂度,并分享优化代码运行时间的方法。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

Problem

loj
猫锟出的神仙题……流下了不学无术的泪水

Solution

这题是个假的最优化,其实是个计数题

要求权值为 i i i 的生成树个数,不妨考虑操作符全部为异或的情况。计数的话还得用Matrix Tree定理,此时矩阵的元素变成了一个桶,且它们的乘法也应该是异或卷积,然而我们并不会定义异或卷积意义下的逆元。

如果我们把桶FWT了,那么FWT后的数组每一位就都是独立的了,这样就可以把每一位单独列成一个矩阵,用Matrix Tree定理即可求出答案数组相应位置的答案。最后把答案数组IFWT一遍即可得到答案数组。

而对于其他的操作符,就在相应的二进制位上采用相应的FWT方式即可。

时间复杂度 O ( n 3 2 w + n 2 w 2 w ) O(n^32^w+n^2w2^w) O(n32w+n2w2w)
算了下感觉跑不过,下了个数据发现跑了13s,于是在求行列式的时候加了个如果对角线上有0就直接返回0之后就只需要跑1.4s了。。感觉有点迷

Code

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5010,mod=998244353,inv2=499122177;
template <typename Tp> inline int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f) x=-x;
}
int n,m,l,N,a[80][80],G[80][80][maxn],ans[maxn];
char op[20],s[maxn];
int pls(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int dec(int x,int y){return x<y?x-y+mod:x-y;}
int power(int x,int y)
{
	int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
	  if(y&1)
	    res=(ll)res*x%mod;
	return res;
}
void FWT(int *a,int f)
{
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	  for(int j=0;j<N;j+=(i<<1))
		for(int k=0;k<i;++k)
		{
			if(s[i]=='&')
			  a[j+k]=f?pls(a[j+k],a[j+k+i]):dec(a[j+k],a[j+k+i]);
			if(s[i]=='|')
			  a[j+k+i]=f?pls(a[j+k],a[j+k+i]):dec(a[j+k+i],a[j+k]);
			if(s[i]=='^')
			{
				int x=a[j+k],y=a[j+k+i];
				a[j+k]=pls(x,y);a[j+k+i]=dec(x,y);
				if(!f)a[j+k]=(ll)a[j+k]*inv2%mod,a[j+k+i]=(ll)a[j+k+i]*inv2%mod;
			}
		}
}
void input()
{
	int x,y,v;	
	read(n);read(m);scanf("%s",op+1);
	l=strlen(op+1);N=1<<l;
	for(int i=1;i<=l;i++) s[1<<(i-1)]=op[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		read(x);read(y);read(v);
		G[x][y][v]=dec(G[x][y][v],1);
		G[y][x][v]=dec(G[y][x][v],1);
		++G[x][x][v];++G[y][y][v];
	}
}
int gauss()
{
	int det=1,inv;
	for(int i=1,k;i<n;i++)
	{
		if(!a[i][i])
		{
			k=0;
			for(int j=i;j<n;j++) if(a[j][i]){k=j;break;}
			if(k==0) return 0;
			swap(a[i],a[k]);
		}
		det=(ll)det*a[i][i]%mod;inv=power(a[i][i],mod-2);
		for(int j=i+1;j<n;j++) a[i][j]=(ll)a[i][j]*inv%mod;
		for(int j=i+1;j<n;j++)
		  for(int r=i+1;r<n;r++)
		    a[j][r]=dec(a[j][r],(ll)a[j][i]*a[i][r]%mod);
	}
	return det;
}
int main()
{
	input();
	for(int i=1;i<n;i++)
	  for(int j=1;j<=i;j++)
	  {
	  	FWT(G[i][j],1);
	  	if(j<i) memmove(G[j][i],G[i][j],sizeof(G[i][j]));
	  }
	for(int s=0;s<N;++s)
	{
		for(int i=1;i<n;i++)
		  for(int j=1;j<n;j++)
		    a[i][j]=G[i][j][s];
		ans[s]=gauss();
	}
	FWT(ans,0);
	for(int i=N-1;~i;i--) if(ans[i]) {printf("%d\n",i);return 0;}
	puts("-1");
	return 0;
}
<think>我们正在查询与LOJ6279相关的编程目或解决方案。LOJ(LibreOJ)是一个在线的评测系统,主要收录算法竞赛目。根据号6279,我们需要确定该目的具体内容。由于我无法直接访问网络,我将基于已知信息进行推理。在算法竞赛中,LOJ目编号通常与特定的目对应。号6279可能对应一个特定的问。根据常见的目类型,我们可以推测它可能涉及数据结构或算法。然而,为了准确回答,我们可以尝试回忆或推断常见的LOJ目。例如,LOJ6000系列目多为数据结构,如线段状数组等。实际上,通过搜索记忆,我回想起LOJ6279是“数列分块入门3”(BlockArray3)目。这是“分块”系列目中的一目描述:给出一个长为n的数列,以及n个操作,操作涉及区间加法,询问区间内小于某个值x的前驱(即最大的小于x的数)。因此,用户需要的是关于LOJ6279目的描述和解决方案。解决方案:由于目要求分块处理,我们将数列分成若干块,每块大小为sqrt(n)。对于每个块,我们维护一个有序的数组(用于二分查)以及一个加法标记(记录整个块被加了多少)。操作:1.区间加法:对于整块,直接更新加法标记;对于不完整的块,暴力更新元素值,然后重新排序该块(或者重新构建有序数组)。2.查询区间内小于x的前驱:遍历区间内的所有块。对于整块,在块的有序数组中二分查小于(x-加法标记)的最大值;对于不完整的块,暴力遍历每个元素,判断是否小于x(注意加上加法标记)并更新最大值。代码实现(C++)示例:```cpp#include<iostream>#include<vector>#include<cmath>#include<algorithm>#include<climits>usingnamespacestd;constintMAXN=100010;constintBLOCK_SIZE=320;//约sqrt(MAXN)intn;vector<int>a;vector<int>block_add;//每块的加法标记vector<vector<int>>sorted_blocks;//每块的有序数组voidinit(){intblock_num=(n+BLOCK_SIZE-1)/BLOCK_SIZE;block_add.assign(block_num,0);sorted_blocks.resize(block_num);for(inti=0;i<n;i++){sorted_blocks[i/BLOCK_SIZE].push_back(a[i]);}for(inti=0;i<block_num;i++){sort(sorted_blocks[i].begin(),sorted_blocks[i].end());}}voidupdate_block(intblock_id){sorted_blocks[block_id].clear();intstart=block_id*BLOCK_SIZE;intend=min((block_id+1)*BLOCK_SIZE,n);for(inti=start;i<end;i++){sorted_blocks[block_id].push_back(a[i]);}sort(sorted_blocks[block_id].begin(),sorted_blocks[block_id].end());}voidadd(intl,intr,intc){intblock_l=l/BLOCK_SIZE,block_r=r/BLOCK_SIZE;if(block_l==block_r){for(inti=l;i<=r;i++){a[i]+=c;}update_block(block_l);}else{for(inti=l;i<(block_l+1)*BLOCK_SIZE;i++){a[i]+=c;}update_block(block_l);for(inti=block_l+1;i<block_r;i++){block_add[i]+=c;}for(inti=block_r*BLOCK_SIZE;i<=r;i++){a[i]+=c;}update_block(block_r);}}intquery(intl,intr,intc){intblock_l=l/BLOCK_SIZE,block_r=r/BLOCK_SIZE;intans=-1;if(block_l==block_r){for(inti=l;i<=r;i++){intval=a[i]+block_add[block_l];if(val<c){if(val>ans)ans=val;}}}else{for(inti=l;i<(block_l+1)*BLOCK_SIZE;i++){intval=a[i]+block_add[block_l];if(val<c){if(val>ans)ans=val;}}for(inti=block_l+1;i<block_r;i++){//在块i的有序数组中二分查小于c-block_add[i]的最大值inttarget=c-block_add[i];autoit=lower_bound(sorted_blocks[i].begin(),sorted_blocks[i].end(),target);if(it!=sorted_blocks[i].begin()){it--;intval=*it+block_add[i];if(val>ans)ans=val;}}for(inti=block_r*BLOCK_SIZE;i<=r;i++){intval=a[i]+block_add[block_r];if(val<c){if(val>ans)ans=val;}}}returnans;}intmain(){cin>>n;a.resize(n);for(inti=0;i<n;i++){cin>>a[i];}init();for(inti=0;i<n;i++){intop,l,r,c;cin>>op>>l>>r>>c;l--;r--;//如果目输入是1-indexed,则转换为0-indexedif(op==0){add(l,r,c);}else{cout<<query(l,r,c)<<endl;}}return0;}```注意:上述代码是示例代码,可能需要根据目具体输入要求进行调整。§§相关问§§1.LOJ6279目的具体描述是什么?2.分块算法的时间复杂度是多少?3.除了分块,还有哪些方法可以解决LOJ6279?4.如何优化分块算法的常数?5.分块算法适用于哪些场景?</think>### LOJ 6279 目分析与解决方案 **目描述**:LOJ 6279 是 LibreOJ 上的 **"数列分块入门 3"**,属于分块算法的经典练习。核心要求如下: - **操作 1**:区间 $[l, r]$ 内每个数加上值 $c$ - **操作 2**:查询区间 $[l, r]$ 内小于 $c$ 的**最大元素值**(即前驱),不存在时返回 $-1$ #### 分块算法设计 分块的核心思想是将数列划分为 $\sqrt{n}$ 大小的块,平衡暴力操作与批量处理。 ##### 关键数据结构 1. **块内有序数组**: - 每块维护一个排序后的数组,用于二分查前驱。 - 示例:块 $B_i$ 的排序数组为 $S_i$。 2. **加法懒标记**: - 记录整块被加的总值 $add_i$(不影响块内有序性)。 ##### 操作实现 1. **区间加法($[l, r] + c$)**: - **整块**:直接更新懒标记 $add_i \gets add_i + c$,时间复杂度 $O(1)$。 - **碎块**:暴力修改元素值,并**重构有序数组**(排序),时间复杂度 $O(\sqrt{n} \log \sqrt{n})$。 2. **查询前驱($[l, r]$ 内 $< c$ 的最大值)**: - **整块**:在有序数组 $S_i$ 中二分查 $c - add_i$ 的前驱,时间复杂度 $O(\log \sqrt{n})$。 - **碎块**:暴力遍历元素,检查 $a_j + add_i < c$ 并更新最大值,时间复杂度 $O(\sqrt{n})$。 #### 代码实现(C++) ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> #include <algorithm> #include <climits> using namespace std; const int MAXN = 100010; int n, block_size; vector<int> a; vector<int> add_tag; // 块的加法标记 vector<vector<int>> blocks; // 每块的有序数组 void init() { block_size = sqrt(n); int block_num = (n + block_size - 1) / block_size; add_tag.assign(block_num, 0); blocks.resize(block_num); for (int i = 0; i < n; i++) blocks[i / block_size].push_back(a[i]); for (int i = 0; i < block_num; i++) sort(blocks[i].begin(), blocks[i].end()); } void rebuild_block(int block_id) { blocks[block_id].clear(); int start = block_id * block_size; int end = min(start + block_size, n); for (int i = start; i < end; i++) blocks[block_id].push_back(a[i]); sort(blocks[block_id].begin(), blocks[block_id].end()); } void range_add(int l, int r, int c) { int block_l = l / block_size, block_r = r / block_size; if (block_l == block_r) { // 同一块内 for (int i = l; i <= r; i++) a[i] += c; rebuild_block(block_l); } else { // 左侧碎块 for (int i = l; i < (block_l + 1) * block_size; i++) a[i] += c; rebuild_block(block_l); // 中间整块 for (int i = block_l + 1; i < block_r; i++) add_tag[i] += c; // 右侧碎块 for (int i = block_r * block_size; i <= r; i++) a[i] += c; rebuild_block(block_r); } } int query_predecessor(int l, int r, int c) { int ans = -1; int block_l = l / block_size, block_r = r / block_size; // 左侧碎块暴力查询 for (int i = l; i < min(r + 1, (block_l + 1) * block_size); i++) { int val = a[i] + add_tag[block_l]; if (val < c && val > ans) ans = val; } // 中间整块二分查 for (int i = block_l + 1; i < block_r; i++) { int target = c - add_tag[i]; auto it = lower_bound(blocks[i].begin(), blocks[i].end(), target); if (it != blocks[i].begin()) { it--; int val = *it + add_tag[i]; if (val < c && val > ans) ans = val; } } // 右侧碎块暴力查询 if (block_l != block_r) { for (int i = block_r * block_size; i <= r; i++) { int val = a[i] + add_tag[block_r]; if (val < c && val > ans) ans = val; } } return ans; } int main() { cin >> n; a.resize(n); for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i]; init(); for (int i = 0; i < n; i++) { int op, l, r, c; cin >> op >> l >> r >> c; l--; r--; // 转为0-indexed if (op == 0) range_add(l, r, c); else cout << query_predecessor(l, r, c) << endl; } return 0; } ``` #### 算法分析 - **时间复杂度**: - 单次修改/查询:$O(\sqrt{n} \log \sqrt{n})$(碎块排序主导)。 - 总操作 $m$ 次:$O(m \sqrt{n} \log n)$。 - **空间复杂度**:$O(n)$。 #### 优化技巧 1. **减少排序次数**: - 碎块修改时只重构受影响块的有序数组。 2. **块大小调整**: - 实测调整块大小为 $n^{0.6}$ 可能更快(需测试)。 #### 应用场景 分块算法适用于**强制在线**的区间问(如 LOJ 的数列分块系列),在 $O(\sqrt{n})$ 复杂度下平衡修改与查询[^1]。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值