BZOJ 1076 SCOI2008奖励关状压与期望DP

最新推荐文章于 2020-03-15 13:19:10 发布

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#动态规划 #概率与期望

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本文探讨了在一款游戏中如何通过最优策略最大化奖励关卡的得分。面对多种带有前提条件的宝物，文章介绍了如何利用状态压缩和动态规划求解期望得分的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem

Problem Description

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为 $\frac1n$ 。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Input

第一行有两个正整数k和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。

Output

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分(即期望得分)。

Sample Input

1 2
1 0
2 0

6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0

Sample Output

1.500000

10.023470

Date Size

$1 <= k <= 100, 1 <= n <= 15$ ，分值为 $[-106,106]$ 内的整数。

Solution

首先某些物品既然可能会有前提集合Si，而题目条件中给出了n的范围为 $1 <= n <= 15$ ，那么很容易想到，利用状态压缩来进行判断是否具备前提集合，即 $(s \& state[i])==s[i]$

很容易想到利用DP来解决问题，令s表示之前已经取过宝物的状态，即用f[i][s]表示第i轮的状态为s时的期望得分。但是有一点问题，我们无法判断在i轮能否能到达s的状态，也就是有可能这个保存的答案其实是无效的。那么我们就可以采用倒推的方法。期望DP常用到倒推。

我们知道， $E(x)=\sum P(i)*W(i)$ 。又因为每一轮甩出某种宝物的可能性均为 $\frac1n$ ，那么就可以先计算期望得分的总和，最后再一次除。

由此：令s依然表示之前已经取过宝物的状态，f[i][s]表示在第i到第k轮的期望得分。那么这个答案的储存位置就明确了，即f[1][0]。状态转移方程如下：

对于具备前提集合的，则有不取和取两种状态: $f[i][s]+=max(f[i+1][s],f[i+1][s|(1<<j-1)]+c[j])$

而不具备前提集合的，则只能选择不取: $f[i][s]+=f[i+1][s]$

Code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int k,n,maxx,c[16],state[16];
double f[105][1<<15];
void input()
{
    int t;
    scanf("%d%d",&k,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&c[i]);
        for(int j=1;;j++)
        {
            scanf("%d",&t);
            if(!t)
              break;
            state[i]|=(1<<t-1);
        }
    }
}
int main()
{
    input();
    maxx=(1<<n)-1;
    for(int i=k;i>=1;i--)
      for(int s=0;s<=maxx;s++)
      {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
          if((s&state[j])==state[j])
            f[i][s]+=max(f[i+1][s],f[i+1][s|(1<<j-1)]+c[j]);
          else
            f[i][s]+=f[i+1][s];
        }
        f[i][s]/=n;
      }
    printf("%.6lf\n",f[1][0]);
    return 0;
}