POJ2479 Maximum sum 线性dp

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本文介绍了一个最大区间和问题的高效解法，通过O(n)算法实现。该算法使用动态规划方法，包括正向和反向DP，寻找数组中不重叠的两个子数组，使其和最大。

题目描述

给n个数，要求从这n个数中找出两个区间（不能有重叠），使这两个区间的区间和之和最大。输出最大值

输入样例

1 -1 2 2 3 -3 4 -4 5 -5

输出样例

13 (前7个数一组，倒数第二个5一组）

解题思路

这题O(n^2)会T,只能考虑O(n)的算法。核心还是最大区间和的dp

（dp[i]表示以第i个数结尾的区间最大和状态转移方程:dp[i] = max(dp[i-1]+s[i],s[i]) )

正着dp一遍，还要反着dp一遍。

On解法的核心是再开一个ans数组，ans[i]表示到第i个数为止的最大区间和（不一定以第i个数结尾，即ans[i] = max(dp[1],dp[2],……,dp[i]) 同样的，反着也要有一个ans数组。

这样，到最后只需要扫一遍，看两个ans数组之和的最大值就行了。

详见代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <ctime>
using namespace std;
#define ll long long
#define INF 1000000000
int gcd(int a,int b){return b==0? a:gcd(b,a%b);}
int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;}

const int maxn = 100010;
int s[maxn];
int dp1[maxn];
int dp2[maxn];
int ans1[maxn];
int ans2[maxn];
int main()
{
        int n;
        while(scanf("%d",&n) && n){
            for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) scanf("%d",&s[i]);
        dp1[1] = s[1];
        for(int i = 2 ; i <= n ; i ++) dp1[i] = max(s[i],dp1[i-1]+s[i]);
        int _max = dp1[1];
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
            if(dp1[i] > _max) _max = dp1[i];
            ans1[i] = _max;
        }
        dp2[n] = s[n];
        for(int i = n-1 ; i >= 1 ; i --) dp2[i] = max(s[i],dp2[i+1]+s[i]);
        _max = dp2[n];
        for(int i = n ; i >= 1 ; i --){
            if(dp2[i] > _max) _max = dp2[i];
            ans2[i] = _max;
        }
        _max = -INF;
        for(int i = 1 ; i <= n-1 ; i ++){//1到i i+1到n
            if(ans1[i]+ans2[i+1] > _max) _max = ans1[i]+ans2[i+1];
        }
        printf("%d\n",_max);
        }


    return 0;
}