代码随想录算法训练营第三十八天 | Java |509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯【动态规划】-优快云博客

1 509. 斐波那契数

题目：斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

提示：

0 <= n <= 30

思路：斐波那契数列当前元素为前两项元素之和，因此本题考虑n的大小，当n小于2时，直接返回n；当n大于2时，套用递推公式。本题主要练习动态规划解题五步曲：确定dp数组的定义、下标；递推公式；dp数组初始化‘遍历顺序；dp数组打印。

注意：数组空间大小初始化时注意n+1，斐波那契数列从f(0)开始

Java实现：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        // f(n)为数组前两位，即f(0)=0,f(1)=1
        if(n<1){
            return n;
        }
        // f(n) = f(n-1) + f(n-2)
        else{
            // 初始化数组空间大小
            int[] f = new int[n + 1];
            f[0] = 0;
            f[1] = 1;
            // 数组遍历起点下标
            for(int i=2;i<=n;i++){
                f[i] = f[i-1] + f[i-2];
            }
            return f[n];
        }
    }
}

2 70. 爬楼梯

题目：假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

提示：

1 <= n <= 45

思路：分解爬楼梯问题，第一个台阶有【1】1种方法；第二个台阶有【1+1，2】2种方法；第三个台阶：从第二个台阶直接【+1】即2种方法上来，或者从第一个台阶【+2】即1种方法上来，因此共3种方法；第四个台阶：从第三个台阶直接【+1】即3种方法上来，或者从第二个台阶【+2】即2种方法，因此共5种方法，以此类推。因此本题实质上也是斐波那契数列。

注意：上台阶是递进的，每次可以选择上1阶或者2阶，因此上到当前台阶时有两种选择方案，注意理清这一过程。

Java实现

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n<3) {return n;}
        else{
            int dp[] = new int[n+1];
            dp[0] = 0; // 初始化为0，无实际意义
            dp[1] = 1;
            dp[2] = 2;
            for(int i=3;i<=n;i++){
                dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; 
            }
            return dp[n];
        }
        
    }
}

3 746. 使用最小花费爬楼梯

题目：给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

提示：

2 <= cost.length <= 1000
0 <= cost[i] <= 999

思路：本题首先要考虑清楚dp数组定义，dp[i] 为记录当前爬到第 i 台阶上所花费最小费用。根据题意，可以选择0或者1下标台阶开始起步，因此，起步不计费，即 dp[0]，dp[1]都是0。下面是递推公式：每次可选择上1或2个台阶，因此到第 i 个台阶时，最小花费为min（dp[i-1]+cost[i-1]，dp[i-2]+cost[d-2]）。上台阶依次向后遍历即可。

注意：dp数组长度为cost.length+1，登顶花费为dp[cost.length]

Java实现

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int n = cost.length;
        int dp[] = new int[n+1];  // 到达当前台阶所花费最小的金额
        // 长度初始化为n+1，最后一个记录的是达到最终台阶所花费的金额
        dp[0] = 0;  // 初始上第一个和第二个台阶不花钱
        dp[1] = 0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i] = Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
        }
        return dp[n];
    }
}