算法概论 - 8.9

Problem

在碰撞集（HITTING SET）问题中，给定一组集合 {$S_1,S_2, ... ,S_n$} 和预算$b$，我们希望求一个所有的 $S_i$ 相交且规模不超过 $b$ 的集合 $H$，当然，前提是这样的集合确实存在。换句话说，我们希望对所有的 $i$ 满足 $H \cap S_i = \phi$。

请证明该问题是NP-完全的。

Solution

通过将最小顶点覆盖问题归约到HITTING SET问题来证明该问题是NP-完全的。

设有一个图G，G中每条边可以表示为点对{$v_i,v_j$}。可以将G的每条边视为二维向量集合 {$S_1,S_2, ... ,S_n$}，则G的最小顶点覆盖是与所有边相交的最小边集$H$，即与$S_i$ 都相交的最小集合。于是最小的顶点覆盖问题转化为ＨITTING SET问题的一类实例，规约成功。证毕。