Light OJ 1095

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组合数学

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本文介绍了一种算法，用于计算在给定数量的整数中，前M个数恰好有K个数位于其原始位置的不同排列的数量。通过组合数学和动态规划方法解决此问题。

题意：给你 N 个数，总共有 N！种排列，现在要你统计前 M 个数刚好有K 个数在原来的位置上的排列个数

思路：首先 M 中选 K C（m，k）；

则共剩下 n - k 个数，而 n-m 个数中可以允许有数在原来的位置；

　　　故枚举 n-m 中有多少个数在原来的位置上，剩下的 n - k - i 个数就是一个错排列了

　　　（错排列： D[i] = (i-1) * (D[i-1] + D[i-2] ) ; ）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1000 +131;
const LL MOD = 1000000007;
LL D[maxn], C[maxn][maxn];

void INIT()
{
    C[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i < maxn; ++i)
    {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j)
            C[i][j] = (C[i-1][j-1] + C[i-1][j]) % MOD;
    }
    D[1] = 0; D[2] = D[0] = 1;
    for(int i = 3; i < maxn; ++i)
        D[i] = (i-1) * (D[i-1]+D[i-2]) % MOD;
}

LL Solve(LL m, LL k, LL n)
{
    LL Ans = 0;
    for(int i = 0; i <= n-m; ++i)
        Ans = (Ans + C[n-m][i] * D[n-k-i] % MOD) % MOD;
    return C[m][k] * Ans % MOD;
}

int main()
{
    INIT();
    int t;
    LL m, k, n;
    scanf("%d",&t);
    for(int kase = 1; kase <= t; ++kase)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n, &m,&k);
        printf("Case %d: %lld\n",kase, Solve(m,k,n));
    }
    return 0;
}