石子合并(区间dp)

石子合并

将 n 堆石子绕圆形操场排放，现要将石子有序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记做该次合并的得分。

请编写一个程序，读入堆数 n 及每堆的石子数，并进行如下计算：

选择一种合并石子的方案，使得做 n−1 次合并得分总和最大。
选择一种合并石子的方案，使得做 n−1 次合并得分总和最小。

输入格式
输入第一行一个整数 n，表示有 n 堆石子。

第二行 n 个整数，表示每堆石子的数量。

输出格式
输出共两行：

第一行为合并得分总和最小值，

第二行为合并得分总和最大值。

样例
Input
4
4 5 9 4

Output
43
54

数据范围与提示
对于 100% 的数据，有 1≤n≤200。

思路： 两两合并，直至合并成一堆，即从小区间推大区间，最小的区间为长度为1的只有它本身的区间，此时，不用合并，得分即为0，我们设dp[i][j]表示合成区间[i,j]的得分，那么dp[i][i]=0,然后就是小区间推大区间了，以求最大得分为例，即为dp[i][j]=max（dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i,j]）,其中sum[i,j]表示从i到j的和

AC代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=410;
int dpx[N][N],dpn[N][N];
int a[N];
//dp[i][j]表示合并区间[i，j]的代价（得分） 
int main()
{
	int n,m,i,j,k;
	memset(dpn,inf,sizeof(dpn));
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i+n]=a[i];//开二倍把环转成链 
		dpn[i][i]=0;//此时区间长度为1，即只有一堆的时候，不用合并，代价为0 
		dpn[i+n][i+n]=0;
	}
	for(i=1;i<=2*n;i++)//前缀和 
	a[i]+=a[i-1];
	for(int len=2;len<=n;len++)//合并的区间长度，起初两两合并，然后用两两合并的结果去合并相邻的那个数，此时区间长度就为2+1=3 
	{
		for( i=1;i+len-1<=2*n;i++)//控制区间右端点（i+len-1）不超过2n 
		{
			j=i+len-1;
			for(k=i;k<j;k++)//合并区间[i,j]，从[i,j]中选取两个小区间（以k为分割点）来合并 
			{
				dpn[i][j]=min(dpn[i][j],dpn[i][k]+dpn[k+1][j]+a[j]-a[i-1]);
				dpx[i][j]=max(dpx[i][j],dpx[i][k]+dpx[k+1][j]+a[j]-a[i-1]);
			}
		}
	}
	int minn=inf,maxx=-1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		minn=min(minn,dpn[i][i+n-1]);//最终和为一堆，区间长度为n 
		maxx=max(maxx,dpx[i][i+n-1]);
	}
	printf("%d\n%d\n",minn,maxx);
	return 0;
}