斯坦纳点/树、泰森多边形

斯坦纳点

斯坦纳点别名正等角中心、费尔马点、斯坦纳点
在三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点（Torricelli’s point ），而三个等边三角形的外接圆称为托里拆利圆。在一定条件下，托里拆利点和正等角中心、费尔马点等是一回事。托里拆利点是由意大利物理学家托里拆利发现的。该问题是费马(1601-1665)作为“求一点，使它至一三角形三顶点的距离和最小"这一著名的极值问题而向意大利物理学家托里拆利(1608-1647)提出，并为托里拆利所解决的，当三角形内角均小于120°时点K即为所求，故称K为托里拆利点，也称费马点。以后，德国斯太纳((1796-1863)独立提出并推广了它，故又称斯太纳问题。

斯坦纳树

斯坦纳树问题是组合优化问题，与最小生成树相似，是最短网络的一种。最小生成树是在给定的点集和边中寻求最短网络使所有点连通。而最小斯坦纳树允许在给定点外增加额外的点，使生成的最短网络开销最小。
斯坦纳树问题的定义随着历史的发展在不断的扩展和推广：

• 瑞士数学家斯坦纳（J.Steiner，1796—1863）将问题推广成：在平面上求一点，使得这一点到平面 上给定的若干个点（称为所与点）的距离之和最小。这可以看作斯坦纳树问题的雏形。
• 考虑到点的其他相关因素，加入了权重的表示。形成的推广定义，德国的两位数学家韦伯(H.Weber，1842—1913)和维斯菲尔德（E.Wieszfeld）分别在1909年和1937年将该问题作为工 厂选址问题提出来：某地有给定的若干个仓库，每个仓库的其他相关因素可以换算成一个权重表示，求一建造工厂的合适地点，使工厂到每个仓库的距离与权重乘积 的总和最小，则这个工厂的地址是最经济、便利的。
• 库朗（R.Courant）和罗宾斯（H.Robbins）提出第一个定义中，斯坦纳对此问题的推广是一种平庸的推广。要得到一个有意义的推广，需要考虑的不是引进一个点，而应是引进若干个点，使引进的点与原来给定的点 连成的网络最小。他们将此新问题称为斯坦纳树问题。给出的定义为：
  假设原来已经给定了n个点，库朗等指出需要引进的点数至多为n-2，此种点称为斯坦纳点。过每一斯坦纳点，至多有三条边通过。若为三条边，则它们两两交成 120°角；若为两条边，则此斯坦纳点必为某一已给定的点，且此两条边交成的角必大于或等于120°。其中最小的网络称为已给定点的集合的最小斯坦纳树， 记作SMT。若此SMT的斯坦纳点中有等于给定点的点，则称此SMT为退化的，此给定点称为退化点。

Steiner’s minimal