格密码学习（三）

最新推荐文章于 2025-08-30 22:48:15 发布

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#密码学

今天在youtube上看了一个lecture巩固了一下
在这里插入图片描述

A lattice may be represented as a matrix whose row vectors form the
basis
A lattice has many bases

格的基底并不是唯一的。正是因为一个格有多组格基使得格密码得以存在。一个整数矩阵是幺模的当这个矩阵的行列式为±1。
幺模
如果 A∈R是整数矩阵，r≡rank A=min{m，n}，而且A的所有非零r×r子式等于 1 或-1，则称A为幺模矩阵(unimodular matrix)。如果A是幺模矩阵，而且还有其各阶子式均等于0，1或-1，则称A为全幺模矩阵(totally unimodular matrix)。
引理
基底 $B_{1}$ , $B_{2}$ 生成相同的格 $L\mathcal{L}$ 当且仅当存在一个幺模U∈ $U∈Zn×n\mathbf{U} \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ 使得 $B1=B2U\mathbf{B}_{1}=\mathbf{B}_{2} \mathbf{U}$
证明
假设 $L(B1)=L(B2)\mathcal{L}\left(\mathbf{B}_{1}\right)=\mathcal{L}\left(\mathbf{B}_{2}\right)$ ，或者 $B1⋅Zn=B2⋅Zn\mathbf{B}_{1} \cdot \mathbb{Z}^{n}=\mathbf{B}_{2} \cdot \mathbb{Z}^{n}$ ，则 $B_{1}$ 的每列都是 $B2\mathbf{B}_{2}$ 的一个整数组合。反之亦然。也就是说，存在 $U,V∈Zn×n\mathbf{U}, \mathbf{V} \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ 使得 $B1=B2U\mathbf{B}_{1}=\mathbf{B}_{2} \mathbf{U}$ 并且 $B2=B1V=B2UV\mathbf{B}_{2}=\mathbf{B}_{1} \mathbf{V}=\mathbf{B}_{2} \mathbf{U} \mathbf{V}$ 。因为 $B2\mathrm{B}_{2}$ 是可逆的，因此我们有 $UV=I\mathbf{U V}=\mathbf{I}$ ，因此 $det⁡(U)det⁡(V)=1\operatorname{det}(\mathbf{U}) \operatorname{det}(\mathbf{V})=1$ 行列式U和行列式V相乘为1.那么行列式U和行列式V为正负一因为两个矩阵都是整数矩阵。
那么，假设对于某个幺模U存在 $B1=B2U\mathbf{B}_{1}=\mathbf{B}_{2} \mathbf{U}$