题解 | 杂题

qwq

不知道写点啥了…就随便写写了…

[Codeforces1130E Wrong Answer]

Codeforces1130E Wrong Answer
构造

题面描述

智商严重下线 看到这题的时候一点思路也没有

qwq

第一个数设成-1 其余都是正的 为$a_1,a_2… $

记${\sum }_{i=1}^N{a}_i=sum$

则正确答案是 $(sum-1)\ast (N+1)$

错误答案是$sum\ast N$

两个的差即为$k$

显然这是肯定可以构造出来的

Hdu5726 GCD

大噶好我是传送门

前言

这么简单的题目我都没想到 这一定不是我

题目描述

给你一个数组$a[]$ ($n\le 1e5,a[i]\le 1e9$)

每次询问你一个$l,r$

求出$gcd(a_l,a_{l+1}\dots ,a_r)$ 还有多少对$(L,R)$ 使得$gcd(a_L,a_{L+1}\dots ,a_R)=gcd(a_l,a_{l+1}\dots ,a_r)$

QwQ

其实$gcd$是满足区间合并的性质的！

那么求$(l,r)$的gcd可以用个rmq搞定～

然后我们考虑一下 对于从$i$开始的所有区间

这些区间不同的gcd值最多也只有log级别个！

那么我们就可以直接二分求出啦。。qwq

那么总复杂度大概是$O(nlo{g}_n^2)$

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Codeforces1186C. Vus the Cossack and Strings

题目描述

给你两个01串$a,b$ 满足$len(b)\le len(a)\le 1e6$

求出$a$的所有长度为$len(b)$的子串 与$b$字符串相同的位的个数位偶数的有多少个

题解

这一定不是我！

如果是不同的话 只有两种情况 1-0 或者0-1

那么如果相同位的位数为偶数的话 是不是相当于

两个串1的个数的奇偶性相同qwq

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Codeforces1187E. Tree Painting

题面描述

给你一颗树～ 第一轮你选一个染成黑色 接下来的每一轮 你都可以染上一个黑色所相连的白色为黑色

答案为 每一轮（包括第一轮）所染的那个点所在的白色联通块的大小

问所有情况的最大值qwq

QwQ

我们可以确定的一点是 当你第一轮确定了一个点之后 那么那种情况的答案也就确定了qwq

那么我们不断得移动第一个点

考虑一下

在这张图上 我们将第一个点由1号移动到4的时候

答案会改变的值是 $n-sz[4]-sz[4]$

dfs2遍就可以了我怎么菜成了这个样子药丸啊

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Codeforces416E. President’s Path

题面描述

我给你一张$n$($n\le 500$)的一张图

输出所有点对之间分别的最短路径上的边有多少条

qwq

首先 肥肠套路的一点就是

枚举每条边 看在哪里两个点的最短路径上

$O(n^4)$真的是T飞了。。

然而。。题解真的是牛逼。。完全想不到的哇。。

反正我一开始想的是就像哪几道水题一样最短路套一套就完事了 发现会重复啊。。而且并不会避免。。

其实题解应该就是解决了这个问题

它考虑的是一个点的邻接点所连出去的是否在最短路上

或者说也解决了第一种方法复杂度不对的问题 枚举每个点连出去的边？

对于一个起点$i$ 我们记$cnt[j]$表示$j$连出去的边有$cnt[j]$条是在$i$到$j$的最短路上的

那么我们再将$j$作为$i$到$k$的中间节点就行啦～如果这个中间节点的话 那么相应的答案就加上$cnt[j]$

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Codeforces986C. AND Graph

哭哭这题简直就是神仙啊！

题面描述

输入$n,m$（$1\le n\le 22$

还有$m$个数($\le 2^n$)

如果$a_i\&a_j=0$ 那么$i,j$连边

问最后有多少个联通块

qwq

看到这种题只会$O(m^2)$啊药丸

感觉做法还是很神仙的qwq

我们考虑输入的$m$个数分别对应了$(x,1)$，其中$x$表示值

加入$2^n-1$个点 $(x,2)$

• $(x,1)$可以指向$(x,2)$,$(tot-x,2)$指向$(x,2)$
• $(x,2)$可以指向$(x|(1<<k),2)$ 其中$x$的第$k$位上为零

这样就把它们连在一起啦！

我们知道很显然的一个性质 就是如果$x\&y=0$的话

那么$x|(tot-y)=x$

那么其实这样构造也就是在满足这个性质

但是点的个数为$O(2^n)$级别的

所以就对了

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Codeforces986F. Oppa Funcan Style Remastered

但是作为Div1最后一题感觉确实不是很难的样子。。

也许难想？

题目描述

反正问题可以转换为

由若干个$k$的质因数能否组成和为$n$ ($k,n\le 1e18$

一共有$q$$(1\le q\le 10000)$次询问

其中不同的$k$最多50个

qwq

首先想到的肯定是质因数分解嘛

但是你会发现…这个要是分的话复杂度显然不对

对此 我们可以采用离线的做法 对相同的$k$就一起算了

假设 我们分解$k$可以分解为$p_1,p_2..p_m$

• $m==0$ 显然不行

• $m==1$就看$n$ %$p_1$

• $m==2$ 其实就相当于求解$a\ast p_1+b\ast p_2=n$ 其中$b$的最小合理解为$\frac{n}{p_2}$在膜$p_1$的意义下

  那么我们就只需判断$b\ast p_2$是否大于$n$啦

• $m==3$时 最小的质因数$p_1$显然是小于$100000$的

  那么我们就在膜$p_1$的意义下去做 其实也就是跑个最短路

  记$f[x]$表示到达$x$所需要的和

  即只需要判断$f[n$%$p_1]$是否大于$n$就行了（$f[n$%$p_1]$就代表了和$n$同余的数所需要的，那么剩下的就用$p_1$来补就行了

剩下的就是玄学卡卡卡

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Codeforces986E. Prince’s Problem

一道不是很难的题？

大概题解什么的把这道题给写烦了。。或者说我没看懂题解什么意思

题面描述

给你一颗$n(1\le n\le 1e5)$个节点的树 每个节点有一个权值$w_i(1\le w_i\le 1e7)$
有$q(1\le q\le 1e5)$次询问 每次询问$x,y,z(1\le x,y\le n,1\le z\le 1e7)$ 问$x->y$的最短路径上的每个点和$x$的最大公因数的乘积

qwq

我们可以考虑每个质因子对答案的贡献
可以按照质因子而构建很多颗虚树
有一个很显然的性质

• 我们将$x->y$的答案记为$d(x,y)$
  那么$$d(x,y)=d(1,x)\ast d(1,y)\ast d(1,lca(x,y){)}^{-1}\ast d(1,f[lca(x,y)]{)}^{-1}$$

既然这样
我们就可以离线做了
把所有要求的东西求出来就可以啦！
按照dfs遍历所有点
遍历到一个点 就把这个点的贡献记录上去
那么该点的子树中的所有点都会受到这个点的影响
回溯出去了 就将该点的答案去除即可

如何记录贡献呢？
我们知道 对于一个质因子$p$的贡献
如果两个数可以表示为$p^i\ast m$,$p^j\ast t$
那么贡献即为$p^{min(i,j)}$

观察一下下面的代码 感觉还是肥肠巧妙的！（感觉真的是一点数据结构都没有用呢～

for(int i = w[u]; i > 1; ) {
		for(int t = pr[i], j = t; i % t == 0; i /= t, j *= t) {
			Mul(s[j], t);
		}
	}
	int len = g[u].size();
	for(int k = 0; k < len; ++k) {
		for(int i = val[g[u][k].id]; i > 1; ) {
			for(int t = pr[i], j = t; i % t == 0; i /= t, j *= t) {
				if(g[u][k].v) Mul(d[g[u][k].id], rev(s[j]));
				else Mul(d[g[u][k].id], s[j]);
			}
		}
	}

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Codeforces986D. Perfect Encoding

题面描述

给出$n$($1\le len(n)\le 1.5e6)$

这个$n$是某个$a[]$的乘积

让你找到这样一个数组$b$ 使得$a[i]\le b[i]$

输出$b[]$的最小总和

qwq

实际上 $b[]$的乘积必定大于$n$

我们考虑要最小化总和$s$

那肯定是将$s$化成一些相同的数字

即$ans=(\frac{s}{x}{)}^x$

两边取对数

$lnans=ln(\frac{s}{x}{)}^x$

对右边求导得到$ln\frac{n}{x}-1$

当$\frac{n}{x}=e$时取到最大值

所以尽量由3组成 少部分用2去补

$3^x=n$ ->$x=lo{g}_{3}n$ ->$lo{g}_{3}n<10^{len}$->$x<len\ast lo{g}_{3}10$

在一定范围内枚举即可

由于涉及到大整数乘法 而且乘方次数比较高

可以采用FFT + 快速幂

可以采取压位减少复杂度