基于ICA的线性监督分类的故障诊断方法-AO统计量计算

ICA+AO统计量

数据预处理

此处同$I^2$统计量的预处理方法，见链接。下文部分未申明的变量均可在预处理部分找到含义。

AO统计量的计算

注：此部分原理比较复杂，以下总结可能会存在错误。

必备公式

（1）

随机选择d维空间（与FastICA中选择维度数一致）的h个单位列向量（对随机向量进行单位化可得到随机的单位向量），h一般250左右即可（再大可能无明显增益），组成矩阵H：
$$\mathrm{H}=(v_1,v_2,...v_h{)}^{\mathrm{T}}$$
（2）

对某从小到大排列的向量${\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}}$的中位数计算方案，定义为med，即：
$$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}({\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}})=\{\begin{array}{l}(x_{n/2}+x_{(x/2)+1})/2\mathrm{i}\mathrm{f}n\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\\ x_{(n+1)/2}\mathrm{i}\mathrm{f}n\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}\end{array}$$
含义就是，若长度为偶数，用中间两个数的均值作为中位数，若长度为奇数，用中间那个数作为中位数。

（3）

对某从小到大排列的向量${\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}}$（向量中元素个数为n），其四分位数计算方案如下：

$Q_1$是第一 四分位数，$Q_3$是第三 四分位数，IQR是四分位距：
$${\mathrm{Q}}_1({\vec{x}}_n)={\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{int}(n\ast 0.25)}$$

$${\mathrm{Q}}_3({\vec{x}}_n)={\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{int}(n\ast 0.75)}$$

$$IQR({\vec{x}}_n)=Q_3({\vec{x}}_n)-Q_1({\vec{x}}_n)$$

注：上面定义的med中位数，可以看成是这里的第二 四分位数。

（4）

medcouple计算方法，记为MC：
$$\mathrm{M}\mathrm{C}(\vec{\mathrm{x}})=\underset{x_i\le \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}(\vec{\mathrm{x}})\le x_j}{\mathrm{med}}h(x_i,x_j)$$
其中，核函数$h(x_i,x_j)$计算方法：

​ 当$x_i̸=x_j$时：
$$h(x_i,x_j)=\frac{\left|(x_j-med(\vec{\mathrm{x}}))-(x_i-med(\vec{x}))\right|}{x_j-x_i}$$
​ 当$x_i=\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}(\vec{\mathrm{x}})=x_j$，设从小到大的向量${\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}}$中，存在
$$x_{b+1}=x_{b+2}=...=x_{b+i}=...=x_{b+j}=x_{b+k}=med(\vec{\mathrm{x}})$$
​ 共k个元素与$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}(\vec{\mathrm{x}})$相等，则：
$$h(x_{b+i},x_{b+j})=\{\begin{array}{l}-1,\mathrm{i}\mathrm{f}i+j-1<k\\ 0,\mathrm{i}\mathrm{f}i+j-1=k\\ +1,\mathrm{i}\mathrm{f}i+j-1>k\end{array}$$
可以证明 $h(x_i,x_j)\in [-1,1]$。

注：statsmodels库提供了medcouple计算函数，并且最新版修复了一个小误差。

（5）

向量${\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}}$的边界$c_1$和$c_2$（与箱型图有关的一个量）的计算方法：
$$[c_1({\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}}),c_2({\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}})]=\left[{\mathrm{Q}}_1-1.5e^{-3.5MC}IQR,Q_3+1.5e^{4MC}IQR\right]\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{M}\mathrm{C}({\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}})\ge 0$$

$$[c_1({\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}}),c_2({\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}})]=\left[{\mathrm{Q}}_1-1.5e^{-4MC}IQR,Q_3+1.5e^{3.5MC}IQR\right]\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{M}\mathrm{C}({\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}})\le 0$$

注：上述$Q_1$肯定是向量${\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}}$的$Q_1$值啦，其他类推。

（6）

向量${\vec{\mathrm{x}}}_{\mathrm{n}}$的拒绝策略：
$$\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}(\vec{x})=\{\begin{array}{l}{Q}_3(\vec{x})+1.5{\mathrm{e}}^{4\mathrm{M}\mathrm{C}(\vec{\mathrm{x}})}IQR(\vec{x})\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{M}\mathrm{C}(\vec{x})\ge 0\\ Q_3(\vec{x})+1.5{\mathrm{e}}^{3.5\mathrm{M}\mathrm{C}(\vec{\mathrm{x}})}IQR(\vec{x})\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{M}\mathrm{C}(\vec{x})\le 0\end{array}$$
（7）

最为关键的AO统计量的计算公式啦啦啦：

矩阵$\mathrm{X}=({\vec{x}}_1,...,{\vec{x}}_i,...,{\vec{x}}_n{)}^T$的中任一个样本向量${\vec{x}}_i$的AO值计算方法：
$$\mathrm{A}\mathrm{O}({\vec{x}}_i,\mathrm{X})=\underset{v\in H}{\max }\frac{\left|{\vec{x}}_i^{T}v-med(\mathrm{X}v)\right|}{(c_2(\mathrm{X}v)-med(\mathrm{X}v))I[{\vec{x}}_i^{T}v>med(\mathrm{X}v)]+(med(\mathrm{X}v)-c_1(\mathrm{X}v))I[{\vec{x}}_i^{T}v<med(\mathrm{X}v)]}$$
其中，$I[\cdot ]$表示当内部条件成立时，该函数结果为1，否则为0。（暂不清楚为何上式内部条件中没有考虑等于号，实现该函数时，个人觉得可以把等于的情况归于大于号，即变成大于等于号。）

AO统计量的控制限

同$I^2$统计量的控制限一样，采用KDE法求取，参见链接。

将AO统计量应用于故障诊断的步骤

首先，经过FastICA变换，得到n个样本的所有源信号s（d维）组成的源矩阵：
$${\mathrm{S}}_{(\mathrm{n}\ast \mathrm{d})}={\mathrm{X}}_{\mathrm{n}\ast \mathrm{m}}{\mathrm{W}}_{\mathrm{d}\ast \mathrm{m}}^T=(s_{1(d\ast 1)},...,s_{n(d\ast 1)}{)}^{\mathrm{T}}$$
求取S所有样本向量的AO值：
$$\mathrm{A}\mathrm{O}(\mathrm{S})=[\mathrm{A}\mathrm{O}(s_1,\mathrm{S}),...,\mathrm{A}\mathrm{O}(s_i,\mathrm{S}),...,\mathrm{A}\mathrm{O}(s_{\mathrm{n}},\mathrm{S}){]}^T$$
求取AO向量的cutoff值：
$$\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}=\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}(\mathrm{A}\mathrm{O}(\mathrm{S}))$$
若$\mathrm{A}\mathrm{O}({\mathrm{s}}_i)>\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}$，则将训练集样本$X_{n\ast m}$中的${\vec{x}}_i$标记为极端值。

从X中剔除掉所有极端值，得到$X_{robust}$，重新进行FastICA，得到$S_{robust}$。

计算$S_{robust}$的AO值向量：
$$\mathrm{A}\mathrm{O}({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}})$$
采用KDE估计此AO向量的概率密度函数，并求取置信区间，记控制限求取结果为${AO}_{\alpha }$

对于新的样本矩阵$X_{new}$，采用上述第二次FastICA的参数（包括均值化和变换矩阵等参数）对其进行FastICA变换，得到${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=({\vec{s}}_1,...,{\vec{s}}_i,...,{\vec{s}}_n{)}^T$，然后求取AO值（注意新样本，与训练样本此公式的异同）：
$$\mathrm{A}\mathrm{O}({\vec{s}}_i,{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}})=\underset{v\in H}{\max }\frac{\left|{\vec{s}}_i^{T}v-med({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}}v)\right|}{(c_2({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}}v)-med({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}}v))I[{\vec{s}}_i^{T}v>med({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}}v)]+(med({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}}v)-c_1({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}}v))I[{\vec{s}}_i^{T}v<med({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}}v)]}$$

故障判定

如果系统正常运行，新样本$x_i$的AO值，应满足$\mathrm{A}\mathrm{O}({\vec{s}}_i)<\mathrm{A}{\mathrm{O}}_{\alpha }$，反之，认为出现故障。

参考文献

Brys, G, M Hubert和A Struyf. 《A Robust Measure of Skewness》. Journal of Computational and Graphical Statistics 13, 期 4 (2004年12月): 996–1017. https://doi.org/10.1198/106186004X12632.

Brys, G., M. Hubert和P. J. Rousseeuw. 《A Robustification of Independent Component Analysis》. Journal of Chemometrics 19, 期 5–7 (2005年5月): 364–75. https://doi.org/10.1002/cem.940.

Hsu, Chun-Chin, Mu-Chen Chen和Long-Sheng Chen. 《A Novel Process Monitoring Approach with Dynamic Independent Component Analysis》. Control Engineering Practice 18, 期 3 (2010年3月): 242–53. https://doi.org/10.1016/j.conengprac.2009.11.002.

Lee, Jong-Min, ChangKyoo Yoo和In-Beum Lee. 《Statistical process monitoring with independent component analysis》. Journal of Process Control 14, 期 5 (2004年8月1日): 467–85. https://doi.org/10.1016/j.jprocont.2003.09.004.

DICA+AO统计量

X(l)生成过程同DPCA，参见链接。

剩余步骤同此。