台大李宏毅Machine Learning 2017Fall学习笔记 (5)Classification: Probabilistic Generative Model

台大李宏毅Machine Learning 2017Fall学习笔记(5)Classification: Probabilistic Generative Model

本节课以二分类问题为例，详细讲解了模型建立的过程及其背后的数学原理。
分类问题的理想模型如下图所示。定义损失函数，给定一个输入值，模型便能输出类别。

如果是简单的二分类问题（比如下图中通过球的颜色判断属于哪个盒子），根据贝叶斯公式可以构造出一个分类器。贝叶斯公式如下：

$$P(A_j|B)=\frac{P(A_jB)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=0}^n P(A_i)P(B|A_i)}$$
对于二分类问题，公式简化为下图所示。

正如上图中所示，Pokemon分两类：Class1的标签是Water，Class2的标签是Normal。训练集中有79只Water Pokemon和61只Normal Pokemon。
根据公式需要得到先验概率和某类Pokemon的分布概率密度函数。其先验概率为： $$P(C_1)=\frac{79}{79+61}=0.56$$ $$P(C_2)=\frac{61}{79+61}=0.44$$
再求某类Pokemon的分布概率密度函数。用一个列向量表示表示一只Pokemon的特征参数。
先利用Pokemon的两个属性值Defense和SP Defense。假定每一只Pokemon的两个属性值均采样自高斯分布。

因为输入参数是2*1的列向量，故采样点符合二元高斯分布的概率密度函数。具体公式如下图所示。

利用最大似然估计求出概率密度函数的参数 $\mu^*$和 $\sum^*$。步骤见下图。

求出两个概率密度函数的均值向量和协方差矩阵

把两组均值向量和协方差矩阵回带至模型中，分类器就建立起来了！

现在建立的模型正确率并不高，调整模型。
可以把两类Pokemon分布概率密度函数中的协方差矩阵统一。

调整最大似然函数，对 $\mu^1$， $\mu^2$和 $\sum$进行最大似然估计。把计算得到的参数回带至模型中，模型的准确率有了一定的改进。

如果能增加Pokemon的特征维度，那么准确率会还可以提高。
总结一下：模型的建立分为3步：

下面是一些数学概念的理解和推导过程，容易理解，不再赘述。