交叉熵损失函数

前言

交叉熵损失函数是一种在分类问题中常用的损失函数，它衡量的是模型输出的概率分布与真实标签的概率分布之间的差异。在初学时，仅仅通过调包实现交叉熵损失的计算，对其背后的概念和计算原理认识比较模糊。而各种”熵“的概念在深度学习算法中有非常广泛的用途。这里参考了一些教程，重新梳理一遍交叉熵这个概念，并提供了实现代码。

一、熵是什么？

熵的概念来源于信息论，用来衡量信息量的大小。信息量与事件发生的概率有关，概率越小的事情发生，信息量越大。假设$X$是一个离散型随机变量，其取值集合为$\chi$，概率分布函数$p(x)=Pr(X=x),x\in \chi$，则定义事件$X=x_0$的信息量为：
$$I(x_0)=-log(p(x_0))$$
熵是用来表示所有信息量的期望，即：
$$H(X)=-\sum _{i=1}^{n}p(x_i)log(p(x_i))$$

二、交叉熵

交叉熵用$H(P,Q)$来表示，用于衡量两个概率分布之间的差异。具体来说，假设有两个概率分布$P$和$Q$，交叉熵定义为：
$$H(P,Q)=-\sum P(x)logQ(x)$$
其中，$P(x)$是真实分布，$Q(x)$是预测分布。
在机器学习中，交叉熵用于衡量模型预测值与真实值之间的差异。以二分类问题为例，交叉熵损失函数为：
$$L=-ylogp-(1-y)log(1-p)$$
其中，$y$为真实标签，$p$为模型预测的概率。
对于多分类问题，交叉熵损失函数表示为：
$$L=-\sum y_{i}log{p}_i$$
其中，$y_i$是真实标签的one-hot编码，$p_i$是模型预测的概率。关于交叉熵损失在实际多分类问题中的应用，可以看下面这个链接2.5节：交叉熵损失

交叉熵损失代码如下：

三、互信息

四、KL散度