AT_dp_f LCS

AT_dp_f LCS

题目描述

给定一个字符串 $s$ 和一个字符串 $t$ ，输出 $s$ 和 $t$ 的最长公共子序列。

输入格式

两行，第一行输入 $s$ ，第二行输入 $t$ 。

输出格式

输出 $s$ 和 $t$ 的最长公共子序列。如果有多种答案，输出任何一个都可以。

说明/提示

数据保证 $s$ 和 $t$ 仅含英文小写字母，并且 $s$ 和 $t$ 的长度小于等于 $3000$。

正解

Part 1

第一件事是弄清楚 LCS 是什么。

LCS 的中文是最长公共子序列，求的是长度。在这道题目中，需要我们求这个字符串到底是什么，第一步就是先求出它的长度。

老规矩：

一、状态：因为这次有两个字符串，所以要开二维数组，即 $d{p}_{i_j}$。根据以前的经验，$d{p}_{i_j}$ 中的 $i$ 和 $j$ 表示的都是结尾的下标，因为要求长度，所以 $d{p}_{i_j}$ 表示第一个字符串结尾下标为 $i$，第二个字符串结尾下标为 $j$，构成最长公共子序列的长度。

二、转移：因为是二维，所以二重循环遍历 $i$ 和 $j$，这里要分两种情况：

1. $s_i=t_j$ 时，可以拿这个字符到最长公共子序列中，所以 $d{p}_{i_j}=d{p}_{{i-1}_{j-1}}+1$，即多了一个字符。
2. $s_i\ne t_j$ 时，只能以 $s$ 的上一个字符或 $t$ 的上一个字符为结尾，取最大值，即 $d{p}_{i_j}=\max (d{p}_{{i-1}_j},d{p}_{i_{j-1}})$。

三、答案：因为转移中的第二小节有提到，我们没法将字符加入最长公共子序列中时，会取前面大的作为答案，所以不需要求所有答案的最大值，只需输出 $d{p}_{n_m}$ 即可。

Part 2

这个时候我们只是知道最长公共子序列的长度，并不是具体的字符串，所以还需要特定的输出。

现在我们可以倒推。令 $i=n,j=m$：

1. 若 $s_i=t_j$，那么和 Part 1 第二大段的第一小节相反，$i-1,j-1$，还需要更新答案：$an{s}_{d{p}_{i_j}}=s_i(t_j)$。
2. 若 $d{p}_{{i-1}_j}>d{p}_{i_{j-1}}$，因为 Part 1 第二大段的第二小节中只是求最大值，所以需要进一步分析，因为 $i-1$ 的情况比 $j-1$ 的情况好，所以 $i-1$。
3. 反之，$j-1$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

char a[3010],b[3010],ans[3010];
int n,m,dp[3010][3010];

void solve()
{
	cin >> a+1 >> b+1;
	n = strlen(a+1);
	m = strlen(b+1);
	for (int i = 1;i <= n;i++)
		for (int j = 1;j <= m;j++)
			if (a[i] == b[j])
				dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
			else
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
	int i = n,j = m;
	while (dp[i][j] > 0)
		if (a[i] == b[j])
			ans[dp[i][j]] = a[i],i--,j--;
		else if (dp[i-1][j] > dp[i][j-1])
			i--;
		else
			j--;
	for (int i = 1;i <= dp[n][m];i++)
		cout << ans[i];
}

signed main()
{
	solve();
	printf("\n");
	return 0;
}