P1060 [NOIP2006 普及组] 开心的金明

[NOIP2006 普及组] 开心的金明

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $N$ 元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的 $N$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1-5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过 $N$ 元（可以等于 $N$ 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第$j$件物品的价格为 $v_j$，重要度为 $w_j$，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,\dots ,j_k$，则所求的总和为：

$v_{j_1}\times w_{j_1}+v_{j_2}\times w_{j_2}\dots +v_{j_k}\times w_{j_k}$。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行，为 $2$ 个正整数，用一个空格隔开：$n,m$（$n<30000,m<25$）其中 $n$ 表示总钱数，$m$ 为希望购买物品的个数。

从第 $2$ 行到第 $m+1$ 行，第 $j$ 行给出了编号为 $j-1$ 的物品的基本数据，每行有 $2$ 个非负整数 $v,p$（其中 $v$ 表示该物品的价格 $(v\le 10000)$，$p$ 表示该物品的重要度（$1\le p\le 5$）。

输出格式

$1$ 个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（$<100000000$）。

样例 #1

样例输入 #1

1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

样例输出 #1

3900

提示

NOIP 2006 普及组 第二题

题意

给出 $N$ 个物品，第 $i$ 个物品的花费是 $x_i$，价值是 $x_i{y}_i$，如果最大花费是 $M$，求最大的价值和。

思路

经典的 dp。

一、状态：因为花费是最重要的，所以 $d{p}_i$ 表示花费为 $i$ 时，最大的价值和。

二、转移：当 $j>i$ 时，分为两种情况：买或不买，最终要取最大值，所以 $d{p}_j=\max (d{p}_j,d{p}_{j-x_i}+x_i\times y_i)$。注意：$j$ 必须倒序遍历，如果是正序遍历，$d{p}_{j-x_i}$ 就会重复取，答案就错误了。

三、答案：每个商品都得考虑一遍，所以答案是 $d{p}_n$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n,m;
int x,y;
int dp[30010];

void solve()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1;i <= m;i++)
	{
		cin >> x >> y;
		for (int j = n;j >= x;j--)
			dp[j] = max(dp[j],dp[j-x]+x*y);
	}
	cout << dp[n];
}

signed main()
{
	solve();
	return 0;
}