【训练日记】20170402 约定

本文介绍了一种解决特定移动方案计数问题的方法。通过将平面坐标系中的点旋转到新的坐标系,使得原本互相影响的移动变化可以独立处理。这种方法能够有效地将问题分解为两个一维问题,并通过枚举和组合数计算最终的答案。

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【训练日记】20170402 约定

题意:给定平面上n个点的坐标。在每个时间单位里,每个点可以向上下左右四个方向中的一个移动一单位长度,但不可以不移动。询问在m时间单位后,能使所有点坐标相同的移动方案数。(n50;m106;106)

题解之一(雾):打表找规律。提示:组合数、乘积。

题解:因为只能向四个方向移动,所以每一次移动过程中,横纵坐标的变化是会相互影响的(横坐标变了纵坐标就不能改变,横坐标不变纵坐标必须改变,反之亦然)。如果两个坐标的变化不能彼此分离处理,在如此大的数据范围下难以找到能快速找出答案的算法。

考虑旋转坐标系。令点的初始坐标为(x,y),现记录为(x+y,xy)。观察发现,原先坐标的四种变化,对应了新记录方法中横纵坐标[+1,1]的四种组合。横纵坐标的改变不再相互影响,可以分离成两个一维问题进行处理。

对于两个一维问题,分别枚举终止坐标,用组合数算出方案数,相乘即为最终答案。时间复杂度O(nm)

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