JZOJ4925. 稻草人

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-----------分治-----------

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本文介绍了一种利用分治算法解决特定几何问题的方法，即计算平面上由特定点构成的矩形数量。通过对点进行排序并使用凸壳技巧，实现了O(nlog²n)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定平面内的 $n$ 个点，求有多少个矩形，左下角是一个点，右上角是一个点，且内部没有其他点。

Data Constraint
$n\leq2\times10^5$

题解

考虑分治，先将点按 $x$ 从小到大排序。
假设当前分治区间为 $[L,R]$ ，区间 $[L,mid]$ 和 $[mid+1,R]$ 的答案显然可以分治求解。
现在要求以左边区间的点为左下角，右边区间为右上角的答案。于是将点按照 $y$ 从大到小排序，然后右边维护一个 $x$ 单调递增的凸壳，左边维护 $x$ 单调递减的凸壳，每次在左边插入的时候在右边二分查找即可统计答案。

时间复杂度： $O(nlog^2n)$

SRC

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std ;

#define N 200000 + 10
typedef long long ll ;
const int MAXN = 19 ;
struct Point {
    int x , y ;
    Point ( int X = 0 , int Y = 0 ) { x = X , y = Y ; }
} P[N] , tp[N] , S1[N] , S2[N] ;

int n ;
ll ans ;

bool cmp( Point a , Point b ) { return a.x < b.x ; }

int Search( int m , int st , int ed ) {
    int l = 1 , r = m , x = m + 1 , y = 0 ;
    while ( l <= r ) {
        int mid = (l + r) / 2 ;
        if ( S1[mid].y <= st ) r = mid - 1 , x = mid ;
        else l = mid + 1 ;
    }
    l = 1 , r = m ;
    while ( l <= r ) {
        int mid = (l + r) / 2 ;
        if ( S1[mid].y >= ed ) l = mid + 1 , y = mid ;
        else r = mid - 1 ;
    }
    return y - x + 1 ;
}

void DIV( int l , int r ) {
    if ( l == r ) return ;
    int mid = (l + r) / 2 ;
    int st = P[mid].x ;
    DIV( l , mid ) ;
    DIV( mid + 1 , r ) ;
    int Cnt = 0 , h1 = l , h2 = mid + 1 ;
    while ( h1 <= mid || h2 <= r ) {
        Point tmp1 = ( h1 <= mid ? P[h1] : Point( -1 , -1 ) ) ;
        Point tmp2 = ( h2 <= r ? P[h2] : Point( -1 , -1 ) ) ;
        if ( tmp1.y > tmp2.y ) tp[++Cnt] = tmp1 , h1 ++ ;
        else tp[++Cnt] = tmp2 , h2 ++ ;
    }
    int top1 = 0 , top2 = 0 ;
    S2[0].y = 0x7FFFFFFF ;
    for (int i = l ; i <= r ; i ++ ) {
        P[i] = tp[i-l+1] ;
        if ( P[i].x > st ) {
            while ( top1 && S1[top1].x > P[i].x ) top1 -- ;
            S1[++top1] = P[i] ;
        } else {
            while ( top2 && S2[top2].x < P[i].x ) top2 -- ;
            S2[++top2] = P[i] ;
            ans += Search( top1 , S2[top2-1].y - 1 , S2[top2].y + 1 ) ;
        }
    }
}

int main() {
    freopen( "scarecrows.in" , "r" , stdin ) ;
    freopen( "scarecrows.out" , "w" , stdout ) ;
    scanf( "%d" , &n ) ;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf( "%d%d" , &P[i].x , &P[i].y ) ;
    sort( P + 1 , P + n + 1 , cmp ) ;
    DIV( 1 , n ) ;
    printf( "%lld\n" , ans ) ;
    return 0 ;
}

以上.