JZOJ3221. 【HNOI2013】游走

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高斯消元

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本文介绍了一种解决特定图论问题的方法：通过高斯消元求解边权分配，以达到最小化期望得分的目的。该问题涉及图的遍历、概率计算以及线性代数中的高斯消元法。

题目大意

给 $n$ 个节点和 $m$ 条边的无向简单连通图。
初始时在1 号顶点，每一步以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当到达N 号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在对这M 条边进行编号，使得小获得的总分的期望值最小。

题解

直接求每条边的期望不是很容易，我们可以转化模型，求到达每个点的期望，设为 $f(x)$
$\therefore f(x) = \sum_{y,(x,y)\in{E}} f(y) * \frac{1} {P}$
然后直接高斯消元即可求出 $f$ ，接着直接按照 $f$ 大小将边从大到小排序，然后乘上编号即可。

SRC

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std ;

#define N 500 + 10
#define M 300000 + 10
const double eps = 1e-7 ;
struct Edgetype {
    int a , b ;
    double sum ;
} E[M] ;

int Node[M] , Next[M] , Head[N] , C[N] , tot ;
double A[N][N] , f[N] ;
double ans ;
int n , m ;

bool cmp( Edgetype a , Edgetype b ) { return a.sum > b.sum ; }

void link( int u , int v ) {
    Node[++tot] = v ;
    Next[tot] = Head[u] ;
    Head[u] = tot ;
}

void Gauss() {
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
        bool bz = 0 ;
        if ( fabs(A[i][i]) > eps ) bz = 1 ;
        for (int j = 1 ; j <= n && !bz ; j ++ ) {
            if ( fabs(A[j][i]) > eps ) {
                swap( A[i] , A[j] ) ;
                bz = 1 ;
            }
        }
        if ( !bz ) continue ;
        double c = A[i][i] ;
        for (int j = 1 ; j <= n + 1 ; j ++ ) A[i][j] /= c ;
        for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) {
            if ( i == j ) continue ;
            c = A[j][i] ;
            for (int k = 1 ; k <= n + 1 ; k ++ ) A[j][k] -= A[i][k] * c ;
        }
    }
}

int main() {
    scanf( "%d%d" , &n , &m ) ;
    for (int i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
        int u , v ;
        scanf( "%d%d" , &u , &v ) ;
        link( u , v ) ;
        link( v , u ) ;
        C[u] ++ , C[v] ++ ;
        E[i].a = u , E[i].b = v ;
    }
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
        A[i][i] = -1 ;
        if ( i == n ) break ;
        for (int p = Head[i] ; p ; p = Next[p] ) A[i][Node[p]] = (double) 1 / C[Node[p]] ;
    }
    A[1][n+1] = -1 ;
    Gauss() ;
    for (int i = 1 ; i <= m ; i ++ ) E[i].sum = A[E[i].a][n+1] / C[E[i].a] + A[E[i].b][n+1] / C[E[i].b] ;
    sort( E + 1 , E + m + 1 , cmp ) ;
    for (int i = 1 ; i <= m ; i ++ ) ans += (double) i * E[i].sum ;
    printf( "%.3lf\n" , ans ) ;
    return 0 ;
}

以上.