菜鸡acmer理解 【动态规划】多重背包

一、题目
有 n种物品和一个容量为 m 的背包。第 i 种物品最多有 num i 件可用,每件耗费的空间是 vi ,价值是 w i 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量,且价值总和最大。

二、大体思路
第一种思路：
首先这种可以把物品拆开，把相同的num[i]件物品 看成 价值跟重量相同的num[i]件不同的物品，那么！！是不是就转化成了一个规模稍微大一点的01背包了。

    #include<bits/stdc++.h>  
    using namespace std;  
    int dp[1005];  
    int weight[1005],value[1005],num[1005];  
    int main()  
    {  
        int n,m;  
        scanf("%d%d",&n,&m);//n是物品的种数，m是背包的容积  
        memset(dp,0,sizeof(dp));  
        for(int i=1; i<=n; i++)  

            scanf("%d%d%d",&weight[i],%value[i],&num[i]);

        for(int i=1; i<=n; i++)//每种物品  

            for(int k=0; k<num[i]; k++)//其实就是把这类物品展开，调用num[i]次01背包代码  

                for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//正常的01背包代码  

                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);  

        printf("%d"，dp[m]);
        return 0;  
    }  

第二种思路：
很明显（原谅我这个菜鸡用这个说法）这个做法和01背包还有完全背包都很像，那他就是01背包和完全背包的孩子啊！！！ 那么这个儿子既然和父母都很像，那一定可以从儿子这里推到父母身上，这样一想就豁然开朗！ 这就分为两种大情况嘛：
第一种： 背包的容量<该物品的总体积，换句话说这个物品就变成了无限拿，这样就从多重背包（儿子）推到了完全背包（父亲）

第二种： 其他情况下那就是这件物品有限次拿，那就转化到了01背包（母亲），而这里有一个大佬们用的二进制优化方法 可以把时间复杂度从o（n）降低到o（logn），具体看代码咯

    #include<csdtio>  
    using namespace std;  
    const int N = 1005;  

    int dp[N];  
    int c[N],w[N],num[N];  
    int n,m;  

    void ZeroOne_Pack(int cost,int weight,int n)//吧01背包封装成函数  
    {  
        for(int i=n; i>=cost; i--)  
            dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);  
    }  

    void Complete_Pack(int cost,int weight,int n)//把完全背包封装成函数  
    {  
        for(int i=cost; i<=n; i++)  
            dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);  
    }  

    int Multi_Pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)//多重背包  
    {  
        memset(dp,0,sizeof(dp));  
        for(int i=1; i<=n; i++)//遍历每种物品  
        {  
            if(num[i]*c[i] > m)  
                Complete_Pack(c[i],w[i],m);  
                //如果全装进去已经超了重量，相当于这个物品就是无限的  
                //因为是取不光的。那么就用完全背包去套  
            else  
            {  
                int k = 1;  
                //取得光的话，去遍历每种取法  
                //这里用到是二进制思想，降低了复杂度  
                //为什么呢，因为他取的1,2,4,8...与余数个该物品，打包成一个大型的该物品  
                //这样足够凑出了从0-k个该物品取法  
                //把复杂度从k变成了logk  
                //如k=11，则有1,2,4,4，足够凑出0-11个该物品的取法  
                while(k < num[i])  
                {  
                    ZeroOne_Pack(k*c[i],k*w[i],m);  
                    num[i] -= k;  
                    k <<= 1;二进制的思想  
                }  
                ZeroOne_Pack(num[i]*c[i],num[i]*w[i],m);  
            }  
        }  
        return dp[m];  
    }  

    int main()  
    {  
        int t;  
        scanf("%d",&t); 
        while(t--)  
        {  
            scanf("%d%d",&n,&m);//n是物品的种类，m是背包的容积  
            for(int i=1; i<=n; i++)  
                scanf("%d%d%d",&c[i],&w[i],&num[i]);
            printf("%d\n",Multi_Pack(c,w,num,n,m));
        }  
        return 0;  
    }