Miller_Rabin算法 素数判定

 

算法理论基础

       Miller-Rabin算法是Fermat算法的一个变形改进，它的理论基础是由Fermat定理引申而来。

 

　　Fermat 定理： n是一个奇素数，a是任何整数(1≤ a≤n-1) ，则 a^(n-1)≡1(mod n)。

 

　　Miller-Rabin 算法的理论基础：如果n是一个奇素数， 将n-1表示成2^s*r的形式(r是奇 数)，a 是和n互素的任何整数， 那么a^r≡1(mod n) 或者对某个j(0≤j ≤s －1， j∈Z) 等式 a^(2^j*r) ≡－1(mod n)成立。 这个理论是通过一个事实经由Fermat定理推导而来： n是一个奇素数，则方程x^2 ≡ 1 mod n只有±1两个解。

重复n次实验。对于每一次实验，随机取检验算子a，带入定理进行检验，看看在算子a下，n能否满足

 

a^r ≡ 1 mod n或者对某个j (0 ≤ j≤ s−1, j∈Z) 等式a^(2jr) ≡ −1 mod n       **

如果任意一次实验不满足，则判定不是素数，如果都满足，可近似可以认为是素数（错误率极小）。

 

取模运算性质

术语：

For a positive integer n, two integers a and b are said to be congruent modulo n, and written as

一些有用的性质（可证明）：

如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。

如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则ax≡by(mod m)。

如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m) （就是说同余式两边可以同时除以一个和模数互质的数）。

#include <iostream> 
#include <algorithm>  
#include <cstring>  
#include <map> 
using namespace std;

typedef unsigned long long ll;//10^20 左右再大我也很无奈=.= 
const int times = 10;//一般10就够了
int prime[] = {2, 3, 5, 7, 13, 17, 11, 61, 97, 24251, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 89};		//得到随机检验算子 a

ll  Random(ll n){
	return (double(rand())/RAND_MAX * n+0.5);
}

ll q_mul(ll a, ll b, ll mod){
	ll ans=0;
	while(b){
		if(b & 1)	ans=(ans+a)%mod;
		a=(a<<1)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
//	return (a*b)%mod;//超时就换成这个 
}

ll q_pow(ll a, ll b, ll mod){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b & 1)	ans=q_mul(ans,a,mod);
		a=q_mul(a,a,mod);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

bool miller_rabin(ll n){				 //检验n是否是素数
	if(n<2) return false;
	if(n==2) return true;
	if(!(n&1)) return false;				//如果是2则是素数，如果<2或者是>2的偶数则不是素数
	
	ll k,j=0, x, tem = n-1;
	while(!(tem & 1)) tem>>=1,j++;
	for(int i=0;i<times;i++){				//做times次随机检验
		if(prime[i] >= n) return true;
		x = q_pow(prime[i], tem, n);				//得到a^r mod n
		if( x == 1 ) continue;			//余数为1则为素数
		for(k=0;k<j;k++){		
			if(x == n-1) break;			//否则试验条件2看是否有满足的 j
			x = q_mul(x, x, n);
		}
		if(k == j) return false;
	}
	return true;
}

int main( )
{
	long long tar;
	while(scanf("%lld",&tar)){
		if(miller_rabin( tar ))	//检验tar是不是素数
			cout << "Yes, Prime!" << endl;
		else
			cout << "No, not prime.." << endl;
	}
	return 0;
}

再大就要手动实现大整数了。。。太麻烦了，可以用java里的BigInteger，里面提供了一个实现这个算法的方法，方法原型是：

boolean isProbablePrime(int certainty)

 

参考：https://blog.youkuaiyun.com/maxichu/article/details/45458569点击打开链接

https://blog.youkuaiyun.com/chensilly8888/article/details/42834697