day46算法训练｜动态规划part8

原创 已于 2023-12-23 14:28:54 修改 · 518 阅读 · 10 ·
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#算法 #动态规划

于 2023-12-23 14:25:51 首次发布
本文探讨了如何使用记忆回溯和动态规划算法解决单词拆分问题，以及将其与背包问题（如01背包和多重背包）的关系，强调了在面试中多重背包的少见性和01背包的理解基础。

139.单词拆分

可以用记忆回溯算法

也可以用动态规划

如果看作背包问题，本题是跟顺序有关的，所以遍历顺序应该是先背包，再物品，这样对于每个大小的背包空间，都会选择一次不同的物品，所以会有不同种的顺序被考虑到

也可以看做变种的爬楼梯问题，直接一维dp解决

一维dp：先遍历物品再遍历背包的话

for (String word: wordDict){

        for(int i=0;i<s.length();i++){}

}

动态规划：多重背包

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

与01背包十分相似 （来源：代码随想录）

多重背包在面试中基本不会出现，力扣上也没有对应的题目，大家对多重背包的掌握程度知道它是一种01背包，并能在01背包的基础上写出对应代码就可以了。

背包问题篇总结篇

图源：代码随想录

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AdrianLeon
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如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
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从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。
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这里要看一下递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
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与上一题区别由于要求连续的，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
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1. dp数组（dp table）以及下标的含义是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。dp数组无法直接得出回文数量，但是可以判断是否为回文，如果是，直接增加即可2. 递推公式整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
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其他位置由于是求最小值，需要初始化为一个最大的数（至少比result可能的最大值要大），否则就会影响递推公式的更新（实际最小值比初始化的值要大的时候：min(dp[j - coins[i]] + 1, 初始值)=初始值）虽然先背包循环，再物品循环，会影响到dp[j] 与dp[i][j]的互相对应关系，但是不影响最终结果，只要把整个过程遍历完了，仍然能够得到最小值。dp[i][j]: coins[0..i]的选择中达到jamount用的coins的最少个数。dp[i-1][j]:不选择第i个硬币。
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同样定义二维dp数组，dp[i][j]表示以i为起点，j为终点中最长子串的长度，所以当s[i]==s[j]时，dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;=s[j]时，dp[i][j]就取dp[i][j-1]和dp[i+1][j]的最大值。今天的两道题都很有难度，647回文子串的思路非常巧妙，因为用一维dp数组比较难表示子串的起点和终点，所以需要用二维dp数组表示，dp[i][j]表示以i为起点，j为终点的子串是不是回文子串，当s[i]和s[j]不同时，该子串不是回文子串；516.最长回文子序列。
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确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));可见当dp[n] （n>=4）时，dp[n] == integerBreak(n)因为dp作为被拆分项，他的Best是对其接着拆分。dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，
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