第四十五天| 322. 零钱兑换、279.完全平方数

Leetcode 322. 零钱兑换

题目链接：322 零钱兑换

题干：给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

• 1 <= coins.length <= 12
• 1 <= coins[i] <= 231 - 1
• 0 <= amount <= 104

思考：动态规划。题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。

• 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：从coins中任取硬币，达到总金额为i所需硬币的最小数

• 确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）。并且dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

所以递推公式为dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

• dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

从递推公式可以看出，非0下标的dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。所以下标非0的元素都是应该是最大值INT_MAX。

• 确定遍历顺序

由于本题求钱币最小个数，那么钱币的选取有顺序和没有顺序都可以。

所以本题外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的。下面代码采用硬币放在外循环，总金额在内循环的方式。

本题是完全背包类似问题，所以遍历的内循环是正序。

• 举例推导dp数组

距离：coins = [1, 2, 5], amount = 5，dp状态图如下：

代码：

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);        //从coins中任取硬币，达到总金额为i所需硬币的最小数
        dp[0] = 0;
        
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++)          //遍历硬币
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++)    //遍历总金额
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX)        //最大值不去处理
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);

        return dp[amount] == INT_MAX ? -1 : dp[amount];
    }
};

Leetcode 279.完全平方数

题目链接：279 完全平方数

题干：给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

• 1 <= n <= 104

思考：动态规划。完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包。

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[j]：达到累计和为i，最少所需完全平方数个数

• 确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。并且要选择最小的dp[j]

所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

• dp数组如何初始化

dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，因此dp[0]一定是0。

从递归公式可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

• 确定遍历顺序

由于本题求满足条件的完全平方数最少个数，那么完全平方数的选取有顺序和没有顺序都可以。

所以本题外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的。下面代码采用完全平方数放在外循环，累加和在内循环的方式。

本题是完全背包类似问题，所以遍历的内循环是正序。

• 举例推导dp数组

举例：n为5，dp状态图如下：

代码：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);     //dp[i]表示达到累计和为i，最少所需完全平方数个数
        dp[0] = 0;

        for (int i = 1; i * i <= n; i++)          //遍历完全平方数
            for (int j = i * i; j <= n; j++)        //遍历累加和
                if (dp[j - i * i] != INT_MAX)       //初始最大值不处理
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);

        return dp[n];
    }
};

自我总结：

• 动态规划中确定递归顺序中：
  • 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
  • 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。