1. Fibonacci Number

最新推荐文章于 2021-10-09 06:01:03 发布

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本文深入探讨了斐波那契数列的三种计算方法：递归、循环和矩阵快速幂，分别介绍了它们的时间复杂度及适用场景。递归方法直观但效率低下，循环方法简单且效率较高，而矩阵快速幂则能在对数时间内解决大数问题。

1. Fibonacci Number

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 …

f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]

F[n] = $((1 + \sqrt{5})^n - (1 - \sqrt{5})^n) / (2^n\cdot \sqrt{5}) = 1 / \sqrt{5}\cdot ((1 + \sqrt{5}) / 2)^n$

没什么好说的，有时候记得用高精度

有时候还需要矩阵快速幂

1.递归 时间复杂度O(2^n)

int f(int n){  
    if(n == 1 || n == 2){  
        return 1;  
    }  
    return f(n - 1) + f(n - 2);  
}

2.循环 时间复杂度O(n)

public int f(int n) {  
    // write code here  
    int f0 = 1;  
    int f1 = 1;  
    int f2 = 0;  
  
    for(int i = 2; i < n; i++){  
        f2 = f0 + f1;  
        f0 = f1;  
        f1 = f2;  
    }  
    return f2;  
}

3.矩阵求解 时间复杂度O(logn)

斐波那契的递推公式可以表示成如下矩阵形式：

根据矩阵的分治算法，可以在O(logn)时间内算出结果。

public class Fibonacci {
	static long[][] f = new long[][]{{0,1},{1,1}};
  	public int getNthNumber(int n) {
  	    if(n == 0)
  	        return 1;
  	    if(n == 1)
  	        return 1;
  	    f = pow(n,f);
  	      	    return (int) (f[1][1]%1000000007);
  	}
  	private long[][] pow(int n,long[][] f){//矩阵的幂函数
 	    if(n == 1)
  	        return f;
            	    if(n == 2)
	        return fun(f,f);
   	  	    if((n&1)==0){//偶数
  	        f = pow(n/2,f);
  	        return fun(f, f);
  	    }
	    else
 	        return fun(pow(n/2,f),pow(n/2 + 1,f));
   	}
  	private long[][] fun(long[][] f,long[][] m){
  	    long[][] temp = new long[2][2];
  	    temp[0][0] = (f[0][0]*m[0][0] + f[0][1]*m[1][0]);
	    temp[0][1] = (f[0][0]*m[0][1] + f[0][1]*m[1][1]);
  	    temp[1][0] = (f[1][0]*m[0][0] + f[1][1]*m[1][0]);
  	    temp[1][1] = (f[1][0]*m[0][1] + f[1][1]*m[1][1])%1000000007;
   	    return temp;
  	}
  }