tarjin 算法强连通分量-优快云博客

Tajin算法由Robert Tarjan提出，他可以在线性时间内帮我们找到有向图中的所有强连通分量。

其实，tarjan算法的基础是DFS。我们准备两个数组Low和Dfn。Low数组是一个标记数组，记录该点所在的强连通子图所在搜索子树的根节点的Dfn值（很绕嘴，往下看你就会明白），Dfn数组记录搜索到该点的时间，也就是第几个搜索这个点的。根据以下几条规则，经过搜索遍历该图（无需回溯）和对栈的操作，我们就可以得到该有向图的强连通分量。

数组的初始化：当首次搜索到点p时，Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。
堆栈：每搜索到一个点，将它压入栈顶。
当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’不在栈中，p的low值为两点的low值中较小的一个。
当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’在栈中，p的low值为p的low值和p’的dfn值中较小的一个。
每当搜索到一个点经过以上操作后（也就是子树已经全部遍历）的low值等于dfn值，则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量。
继续搜索（或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。

由于每个顶点只访问过一次，每条边也只访问过一次，我们就可以在O（n+m）的时间内求出有向图的强连通分量。但是，这么做的原因是什么呢？

Tarjan算法的操作原理如下：

Tarjan算法基于定理：在任何深度优先搜索中，同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说，强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。
可以证明，当一个点既是强连通子图Ⅰ中的点，又是强连通子图Ⅱ中的点，则它是强连通子图Ⅰ∪Ⅱ中的点。
这样，我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意，该子树中的元素在栈中一定是相邻的，且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。
强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量。
如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值，则它是该搜索子树的根。这时，它以上（包括它自己）一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。

具体图示

//  求 有向图 强连通分支 tarjin算法
//  类似求 无向图 割点、桥、双连通分支
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;

#define FF(x1, x2) for (int i = x1; i < x2; i++)
#define TOMIN(x1, x2) x1 = x1 < x2 ? x1 : x2;
#define MAXN 100
#define MAXM 100
struct edge {
  int u, v;
} a[MAXM];
int first[MAXN], next[MAXM];
int n, m;
void addedge(int u, int v, int e) {
  next[e] = first[u];
  first[u] = e;
  a[e].u = u;
  a[e].v = v;
}
void read_graph() {
  cin >> n >> m;
  FF(0, m) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    addedge(u, v, i);
  }
}

int dfn[MAXN], low[MAXN];
int num;
stack<int> s;
int ins[MAXN];

void tarjin(int u) {
  dfn[u] = low[u] = ++num;
  s.push(u);
  ins[u] = 1;
  for (int e = first[u]; e != -1; e = next[e]) {
    int v = a[e].v;
    if (!dfn[v]) {
      tarjin(v);
      TOMIN(low[u], low[v]);
    } else if (ins[v]) {
      TOMIN(low[u], dfn[v]);
    }
  }
  if (dfn[u] == low[u]) {
    while (1) {
      int v = s.top();
      s.pop();
      ins[v] = 0;
      cout << v << " ";
      if (u == v)
        break;
    }
    cout << endl;
  }
}

int main() {
  num = 0; //点赋值
  memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
  memset(first, -1, sizeof(first));
  memset(ins, 0, sizeof(ins));
  read_graph();
  FF(1, n + 1) {
    if (!dfn[i])
      tarjin(i);
  }
}
/*
input
6 8
1 3
3 5
5 6
1 2
4 1
2 4
4 6
3 4

output
6
5
3 4 2 1

*/

原文链接（程序比较乱）：https://blog.youkuaiyun.com/qq_36403266/article/details/54782590

代码连接（解释不详细）：https://www.cnblogs.com/tclh123/archive/2011/10/28/2587054.html