线性代数中一些概念的直观理解

最新推荐文章于 2024-12-30 10:51:10 发布

喵纳德

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分类专栏：课程学习

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该博文是总结一下线性代数中一些比较重要的概念的直观理解，方便对线性代数有个直观理解。
大部分观点源于

非方阵：不同维数空间的转化。
例子： $3\times2$ 的满秩矩阵是将二维空间映射为三维空间，即相当于三维空间中的一个面。（2个列表示有2个基向量，3阶表示基向量在变换后用三维坐标描述）。
$2\times3$ 的满秩矩阵是将三维空间映射为二维空间。

$A X = b$

$a\bullet b=c$

点积：运算上a向量和b向量对应元素相乘在相加，即结果为一个数。一般将运算过程理解为b乘以a在b向量上的投影的结果。
可知点积与 $a^T b = c$ 形式结果一致， $a^T$ 是1Xn的矩阵，即将n维空间到1为空间的线性变换，b是n维空间的坐标，则点积就变成了将b从n维空间线性变换到1维空间的结果。

$v\times w = q$

对于两个二维向量的叉积：结果的绝对值是两个向量张成的平行四边形的面积。 $如果 v 在 w 的右侧，结果为正， v 在 w 的左侧，结果为负$ 。（可以使用行列式来求解，每一列均是一个向量）
对于两个三维向量的叉积：结果是一个方向垂直于（右手法则确定）两个向量张成的平面，且大小等于两个向量张成的平行四边形的面积的向量q。
对于q， $q^T x$ （x为三维空间中任意一个向量）表示 $v, w, x$ 三个向量组成的平行四面体的体积（包含正负）。
可以使用行列式求解，第一列是基向量，其余列是两个向量。

$B X = E C$ （B是基向量矩阵，X是在该基下的坐标，E是另一组基向量矩阵，C是该基下的坐标）

基变换：在一组基向量下的线性变换对应在另一组基向量下的线性变换（矩阵）。
$A^{-1}MA$ （A表示将B的基转换为E的基的线性变换）表示先转换为E的基，在该基下进行M的线性变换，然后再转换为B的基，得到的结果是在B的基下进行相应的线性变换。
同一个线性变换在不同的基下是相似的，相似矩阵其实表示的是同一个线性变换（不同的基）。

$A X = λ X$

从上面的理解可以知道一个特征值可以有多个特征向量，而一个特征向量只能对应一个特征值。

$对于非零向量x，均有x^TAx>0，则A是正定矩阵，有x^TAx>=0，则A是半正定矩阵$ 。

正定矩阵：令Y = Ax，则Y是x通过A的线性变换得到。设 $\theta$ 为Y和x的向量夹角， $cos\theta = x^TA/(|x||A|)$ 。可以知道当 $x^TA>0$ 时，0度< $\theta$ <90度，即将任意一个非零向量x经过A的线性变换后旋转的角度小于90度，则A为正定矩阵。
半正定矩阵：理解类似正定矩阵，只不过包含90度。