【NOIP2014模拟8.21】签到题3 jzoj 3797 树链剖分

本文介绍了一种解决树形结构中最大值及其出现次数问题的高效算法——树链剖分。通过具体实现细节和代码示例,展示了如何利用线段树进行节点属性更新和查询,进而快速求解特定路径上的最大值及其数量。

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题目

给定一棵有根树(根节点为1),每个点都带有权值,对于点u,其权值设为a[u],其父亲为fa[i]。现有两个函数f1,f2,定义如下:
如果u=1,f1[u]=a[u],f2[u]=1
否则
如果f1[fa[u]]+1

分析

稍微一分析就可以发现:
对于一个点X,它有一个祖先Y,那么点Y对于点X的f1影响是a[y]+(deep[x]-deep[y]).
f1就是求一个点到树根的链上,最大的值,f2就是求最大的值有多少个。

树链剖分即可.

code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
#define maxn 200100+10  
#define maxm 600005 
#define INF 0x7fffffff;
using namespace std;

struct gg{
    int x,y,w;
    int next;
}edge[maxm];
int ls[maxn];
int edge_m;

struct arr{
    int x,y;
    int num;      
    int mx;
}f[maxm*6];

int a[maxn];
int n,m;

void swap1(int &x,int &y)
{
    int z;
    z=x; x=y; y=z;
    return;
}

void add(int x,int y)
{
    edge_m++;
    edge[edge_m].x=x; edge[edge_m].y=y; edge[edge_m].next=ls[x]; ls[x]=edge_m;
    edge_m++;
    edge[edge_m].x=y; edge[edge_m].y=x; edge[edge_m].next=ls[y]; ls[y]=edge_m;
    return;
}

int insert(int r,int x,int y,int add)//线段树修改操作。
{
    if ((f[r].x==x)&&(f[r].y==y)) 
    {
        f[r].mx=add;
        f[r].num=1;
        return 0;
    }
    int mid=(f[r].x+f[r].y)/2;
    if (y<=mid) insert(r*2,x,y,add);
        else if (x>mid) insert(r*2+1,x,y,add);
            else insert(r*2,x,mid,add),insert(r*2+1,mid+1,y,add);
    if (f[r*2].mx==f[r*2+1].mx) 
    {
        f[r].mx=f[r*2].mx;
        f[r].num=f[r*2].num+f[r*2+1].num;
        return 0;
    }
    if (f[r*2].mx>f[r*2+1].mx) 
    {
        f[r].mx=f[r*2].mx;
        f[r].num=f[r*2].num;
        return 0;
    }
    else
    {
        f[r].mx=f[r*2+1].mx;
        f[r].num=f[r*2+1].num;
        return 0;
    }
}

int maketree(int r,int x,int y)//建树
{
    f[r].x=x; f[r].y=y; 
    //printf("%d %d %d\n",x,y,r);
    f[r].num=0; f[r].mx=0;
    if (x==y) return 0;
    int mid=(x+y)/2;
    maketree(r*2,x,mid);
    maketree(r*2+1,mid+1,y);
}

int siz[maxn],dep[maxn],top[maxn],fa[maxn],son[maxn],w[maxn];

void dfs1(int x,int r)
{
    fa[x]=r;
    siz[x]=1;
    dep[x]=dep[r]+1;
    int mx=0;
    for (int i=ls[x];i;i=edge[i].next)
    {
        if (edge[i].y==r) continue;
        dfs1(edge[i].y,x);
        siz[x]+=siz[edge[i].y];
        if (mx<siz[edge[i].y])
        {
            mx=siz[edge[i].y];
            son[x]=edge[i].y;
        }
    }
    return;
}

int num=0;

void dfs2(int x,int st)
{
    num++;
    w[x]=num; top[x]=st;
    if (son[x]!=0)  dfs2(son[x],st);
    for (int i=ls[x];i;i=edge[i].next)
        if ((edge[i].y!=fa[x])&&(edge[i].y!=son[x]))
            dfs2(edge[i].y,edge[i].y);
    return;
}

int findmax(int r,int x,int y)
{
    if ((f[r].x==x)&&(f[r].y==y)) return f[r].mx;
    int mid=(f[r].x+f[r].y)/2;
    if (y<=mid) return findmax(r*2,x,y);
        else if (x>mid) return findmax(r*2+1,x,y);
            else return max(findmax(r*2,x,mid),findmax(r*2+1,mid+1,y));
}

int findsum(int r,int x,int y,int &mx)
{
    if ((f[r].x==x)&&(f[r].y==y)) 
    {
        mx=f[r].mx;
        return f[r].num;
    }
    int mid=(f[r].x+f[r].y)/2;
    if (y<=mid) return findsum(r*2,x,y,mx);
        else if (x>mid) return findsum(r*2+1,x,y,mx);
    int mx1=0,mx2=0;
    int k1=findsum(r*2,x,mid,mx1),k2=findsum(r*2+1,mid+1,y,mx2);
    if (mx1==mx2) 
    {
        mx=mx1;
        return k1+k2;
    }
    if (mx1>mx2) 
    {
        mx=mx1;
        return k1;
    }
    else
    {
        mx=mx2;
        return k2;
    }
}

int solvemax(int x,int y)
{
    int mx=-INF;
    int f1=top[x];
    int f2=top[y];
    while (f1!=f2)
    {
        if (dep[f1]<dep[f2]) 
        {swap1(x,y); swap1(f1,f2);};
        mx=max(mx,findmax(1,w[f1],w[x]));
        x=fa[f1]; f1=top[x];
    }
    if (dep[x]>dep[y]) swap1(x,y);
    mx=max(mx,findmax(1,w[x],w[y]));
    return mx;
}

int solvesum(int x,int y,int mxx)
{
    int sum=0;
    int f1=top[x];
    int f2=top[y];
    while (f1!=f2)
    {
        if (dep[f1]<dep[f2]) 
        {swap1(x,y); swap1(f1,f2);};
        int mx=0;
        int k1=findsum(1,w[f1],w[x],mx);
        if (mx==mxx) sum+=k1;
        x=fa[f1]; f1=top[x];
    }
    if (dep[x]>dep[y]) swap1(x,y);
    int mx=0;
    int k1=findsum(1,w[x],w[y],mx);
    if (mx==mxx) sum+=k1;
    return sum;
}

void init()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
    }
}

int main()
{
    init();
    maketree(1,1,maxn+4);
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,1);
    for (int ii=1;ii<=n;ii++)
        insert(1,w[ii],w[ii],a[ii]-dep[ii]);
    scanf("%d",&m);
    int x,y;
    int c;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&c,&x);
        if (c==0) 
        {
            scanf("%d",&y);
            insert(1,w[x],w[x],y-dep[x]);
        }
        else
        {
            int mx=solvemax(1,x);
            printf("%d %d\n",mx+dep[x],solvesum(1,x,mx));
        }
    }
    return 0;
}
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