设计 jzoj 1295 差分约束系统

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本文探讨了一种特殊的牛群排列问题，通过建立差分约束系统并运用Bellman-Ford算法来解决这一问题。具体地，考虑牛之间的相互喜好与排斥关系，并求解1号牛与N号牛间可能的最大距离。

Description

　　和人一样，牛也喜欢站得离朋友较近的位置。FJ有N(2<=N<=1,000)头牛，编号为1..N,现在要设计一个顺序让他们站成一排给他们喂食。奶牛们按照编号顺序依次站立，允许有多只牛站在同一位置（也就是说，牛i和牛j(i < j)的站立位置s_i,s_j一定满足s_i<=s_j,如果s_i=s_j,那么编号为i到j之间的牛也一定站在s_i处）。
　　有一些牛相互喜欢，希望两人的距离在某个范围内，同样也有一些牛相互不喜欢，希望两人的距离大于等于某个距离，题目中给出ML(1<=ML<=10,000)个限制描述相互喜欢的情况，给出MD(1<=MD<=10,000)个限制描述相互不喜欢的情况。
　　你的任务是计算，如果存在某种方案满足上述要求，输出1号牛和N号牛之间最大距离。

Input

　　第1行：3个空格隔开的整数N,ML,MD。
　　第2到ML+1行：每行包含3个空格隔开的整数A,B和D，满足1<=A

Output

　　如果不存在这样的方案，输出-1，如果牛1和牛N之间的距离可以任意，输出-2，否则输出最大的距离。

分析

题目中的限制条件可以改写为 Y<=X+c(对于相对的奶牛 x,y 和常量 c)
如果是不喜欢(TuT)的情况，c 应该是个负数。
如果我们有这些限制 Y<=X+c 和 Z<=Y+d，那么我们可以得到一个新的限制 Z<=X+(c+d)，并且这可以和原来的限制合并在一起。
我们最终的目标是编号为1&N 的牛的限制(即 cown<=cow1+c).
所以我们应该去寻找能产生这个式子的最小公式——也就是求最短路。（差分约束系统）
由于这里会有负权边，我们不能使用 Dijkstra 求最短路╮(￣▽￣)╭。
于是我们使用能应对负权边的 Bellman-Ford 算法。
应对两种特殊情况的话:-1:如果有负环的话，那么就是无解了 (Bellman-Ford 有一种自动检测机制)，-2:如果最短路径为∞，那么这就是可以无限拓展。

代码

const
  maxe=10000;
  maxv=20000;

type
  arr=record
    x,y,w,next:longint;
end;

var
  n,m,s,f:longint;
  a:array[0..maxv] of arr;
  d:array[0..maxe] of longint;
  i,j,k:longint;
  flag:boolean;
  max:longint;

procedure relax(u,v,w:longint);
begin
  if d[u]+w<d[v] then
    d[v]:=d[u]+w;
end;

procedure bellman;
var
  i,j:integer;
begin
  for i:=1 to n do
    for j:=1 to m do
      with a[j] do relax(x,y,w);
  for i:=1 to m do
    with a[i] do
      if d[x]+w<d[y] then begin
        flag:=true;
        exit;
      end;
  flag:=false;
end;

begin
      readln(n,m,s);
      fillchar(a,sizeof(a),0);
      fillchar(d,sizeof(d),$7f);
      max:=d[1];
      for j:=1 to m do
        begin
          with a[j] do
            read(x,y,w);
        end;
      for j:=1 to s do
        begin
          with a[j+m] do
            begin
              read(y,x,w);
              w:=-w;
            end;
        end;
      m:=m+s;
      d[1]:=0;
      flag:=false;
      bellman;
      if flag
        then writeln('-1')
        else if d[n]=max then write('-2')
                         else write(d[n]);
end.