Capacity Facility Location Problem

Capacity Facility Location Problem

CFLP

Capacity Facility Location Problem，即有容量限制的设施选址问题，更准确地说，这次解决的问题为 SSCFLP（Single Source Capacity Facility Location Problem），其对资源的分配更为严格：每个顾客只能由一个设施来服务。下面我们来更准确地描述这个问题：

1. 给定 m 个工厂，n 个用户
2. 每个工厂有容量 c_i 、建设费用 f_i ( 1 <= i <= m )
3. 每个用户有需求 d_i (1 <= i <= n)
4. 对于每个用户 i ，不同的设施 j 的服务费用不同，表示为 cost_ij
5. 每个用户只能由一个设施服务，即 Single Source

求建设设施和服务每一个用户的费用总和的最小值。

方案

从问题描述来看，我们大概就能看出它并不是个善茬，它没有办法像解 LeetCode 上的题一样，用上一个简单算法，就能准确地求解，而事实上，它确实也是个 NP 难问题，所以穷搜绝对是行不通的，无论时间、空间服务度都是爆炸性的。所以不妨试试人工智能课上学到的近似求解方法：爬山法、模拟退火法、遗传算法以及禁忌搜索等。在这次实验中，我将依次使用贪心算法、局部搜索法（爬山法）、模拟退火法来逐渐提高解的质量。

贪心算法

对于每个用户 i ，不同的设施 j 的服务费用不同，利用这一点，我们可以想到一个简单的贪心策略：依次遍历每个用户 m ，找到其服务费用最少的设施 i：

• 如果设施 i 已开
  • 如果容量不足，寻找服务费用仅次于它的下一个设施 j
  • 如果容量充足，就选定 i
• 如果设施 i 未开，找到对该用户服务费用最少且容量充足的已开设施 j
  • 如果 ( f_j + cost_mi ) < cost_mj ，则选设施 i
  • 否则，选设施 j

局部搜索法

我先用上述贪心算法产生一个初始解，这样可以减少算法的收敛时间，事实上贪心算法得到的解质量很差，这也就不用担心一开始就陷入局部最优啦，不过最重要的还是怎么去配合这个初解搜索领域，我使用了 4 种邻域搜索策略：

1. 选定两个顾客，交换他们的服务设施，邻域空间为 n(n-1)/2
2. 选定两个顾客，然后反转他们的服务设施，例如 [1, 3, 4, 2]，我选中了顾客0和顾客3，则结果为 [2,4,3,1]，邻域空间为 n(n-1)/2
3. 选定两个已开设施，交换它们的客户，邻域空间为 O(m(m-1)/2)
4. 选定一个顾客，将其转移到其它设施（已开和未开都行）

前三种策略是在已固定建设哪些设施的情况下，对顾客选择进行优化；而最后一种则是进一步在设施选址空间上进行扩张，而在实验过程中，证明在添加第 4 种策略后，解的质量会更上一层楼！

每次随机采用其中一种策略搜索邻域，如果找到更好的解，则接收；否则更换策略，直至再无策略可用。

模拟退火

与局部搜索算法略微不同的地方在于：局部搜索不接受比当前解更差的解。模拟退火有一个跳出局部最优的机制：若搜索的解劣于当前解，以一定的概率（与温度有关，温度越高概率越大）接受该劣解。

模拟退火的框架伪代码如下：

while temperature > lower_bound
	for i=1:100
    new_solution = search()
    dcost = cost(new_solution) - cost(current_solution)
    if dcost < 0
    	current_solution = new_solution
    else 
      exp(-dcost / temperature) to receive new_solution
  temperature *= COOLING_RATE

效果

贪心只是我拿来做局部搜索或模拟退火的一个踏板，所以我们主要看看后两者的效果，因为时间不太够，模拟退火没有细致地去调参，只是根据经验去随意设置了一下，同时在跑的时候，发现如果每次搜索邻域都穷搜某种搜索策略的解空间，耗时是相当恐怖的，所以我就限制了一下。下面是每种算法跑5次，目前最优 是这15次中最优的一次，模拟退火有时不比局部搜索做得好，有可能是还未收敛，但是可以看到，有些测例都跑了10来分钟了。

如果想看最优解，请直接拉到本文的最下面。

		Result(avg.)			Time(s)
样例	目前最优	贪心	局部搜索	模拟退火	贪心	局部搜索	模拟退火
1	9929	16511	11579	10282	0	0	55
2	8928	12899	9803	9132	0	0	62
3	10420	18441	11604	10583	0	0	57
4	11811	22698	13116	12381	0	0	59
5	10209	17830	10561	10856	0	0	36
6	9025	12930	9679	9494	0	0	43
7	11204	20782	11726	11436	0	0	41
8	12334	23191	12833	13356	0	0	27
9	9543	13788	9849	9708	0	0	66
10	8778	11172	9102	8909	0	0	72
11	10221	20501	10468	10308	0	0	70
12	11397	21717	13049	11665	0	0	65
13	9271	17143	10588	9890	0	0	71
14	8113	12419	9001	8659	0	0	78
15	9955	16778	11502	10543	0	0	78
16	11805	23752	12232	12352	0	0	75
17	9297	18344	9993	9698	0	0	78
18	8482	12005	8808	8805	0	0	73
19	9804	18851	11202	10555	0	0	78
20	11890	22479	12402	12540	0	0	59
21	8826	16099	10114	9064	0	0	87
22	8375	11524	8859	8608	0	0	77
23	9956	17018	10803	10206	0	0	77
24	11015	22259	11794	11352	0	0	88
25	11630	18366	12073	13346	0	3	402
26	10575	17971	11573	12029	0	3	398
27	12675	18773	12795	13816	0	3	369
28	14642	25728	16824	16232	0	3	332
29	12630	21995	12932	13820	0	4	378
30	12109	17967	12658	12762	0	4	356
31	13628	27093	13765	15131	0	4	435
32	16054	29694	16129	20256	0	4	192
33	11620	17118	11647	14072	0	3	296
34	10928	17622	12332	11658	0	3	406
35	12200	17141	12286	15068	0	4	317
36	14878	22775	16029	16852	0	4	290
37	11120	15844	11120	13157	0	3	348
38	11297	15195