1074 宇宙无敌加法器 (20 分)

探讨在每位数进制不同的PAT数系统中实现加法运算的复杂性和解决方案,介绍了一种处理大整数加法的算法,特别关注进位处理、位数不匹配和去除前导零的问题。

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1074 宇宙无敌加法器 (20 分)

题意描述:

地球人习惯使用十进制数,并且默认一个数字的每一位都是十进制的。而在 PAT 星人开挂的世界里,每个数字的每一位都是不同进制的,这种神奇的数字称为“PAT数”。每个 PAT 星人都必须熟记各位数字的进制表,例如“……0527”就表示最低位是 7 进制数、第 2 位是 2 进制数、第 3 位是 5 进制数、第 4 位是 10 进制数,等等。每一位的进制 d 或者是 0(表示十进制)、或者是 [2,9] 区间内的整数。理论上这个进制表应该包含无穷多位数字,但从实际应用出发,PAT 星人通常只需要记住前 20 位就够用了,以后各位默认为 10 进制。

在这样的数字系统中,即使是简单的加法运算也变得不简单。例如对应进制表“0527”,该如何计算“6203 + 415”呢?我们得首先计算最低位:3 + 5 = 8;因为最低位是 7 进制的,所以我们得到 1 和 1 个进位。第 2 位是:0 + 1 + 1(进位)= 2;因为此位是 2 进制的,所以我们得到 0 和 1 个进位。第 3 位是:2 + 4 + 1(进位)= 7;因为此位是 5 进制的,所以我们得到 2 和 1 个进位。第 4 位是:6 + 1(进位)= 7;因为此位是 10 进制的,所以我们就得到 7。最后我们得到:6203 + 415 = 7201。

输入格式:
输入首先在第一行给出一个 N 位的进制表(0 < N ≤ 20),以回车结束。 随后两行,每行给出一个不超过 N 位的非负的 PAT 数。

输出格式:
在一行中输出两个 PAT 数之和。

输入样例:

30527
06203
415

输出样例:

7201

解题思路:

Alice: 又是两个整数求和,不过才不到20位。
Bob: 不到20位又咋了,每一位都是一个进制,不能用整型数直接相加算的。而且10^20长整型也不一定存的下。
Alice: 那这题 和 大整数加法也没什么不一样啊,只是每次求 进位 和 本位 的数的时候整除和取余的数字变一下就好了。
Bob: 是没什么不一样,就是麻烦一点,要考虑两个数字的位数不一致,还有最后进位,还要去除前导零什么的。
Alice: emmm, 估计又要写很多 if 语句了。
Bob: ┐(・o・)┌


代码:

  • Alice’s Python Version:
def main():
    decimal = input()
    # 接收输入的进制,以字符串形式存储
    number1 = input()
    number2 = input()
    # 接收输入的两个PAT数,以字符串的形式存储

    index1 = len(number1) - 1
    # 指向第一个数字当前要参与运算的那一位
    index2 = len(number2) - 1
    # 指向第二个数字当前要参与运算的那一位
    index3 = len(decimal) - 1
    # 指向现在运算结果的进制

    carry = 0
    # 记录进位
    answer = []
    # 记录每一位的运算结果

    while index1 >= 0 or index2 >= 0 or carry > 0:
        # 如果 PAT数1 或者 PAT数2 还有位数没计算,或者 还有进位

        if index1 < 0:
            a = 0
            # 数字1 的所有位已经全部计算完了
        else:
            a = int(number1[index1])
            # 依次取 数字1 的所有位
            index1 -= 1

        if index2 < 0:
            b = 0
            # 数字2 的所有位已经全部计算完了
        else:
            b = int(number2[index2])
            index2 -= 1
            # 依次取 数字2 的所有位
            
        # 取进制,这里么有考虑计算结果的长度大于进制表的长度的情况。
        if decimal[index3] == '0':
            d = 10
        else:
            d = int(decimal[index3])
        index3 -= 1

        sums = a + b + carry
        # 求和
        carry = sums // d
        # 进位
        answer.append(sums % d)
        # 记录这一位计算的结果
        result = ''.join(([str(x) for x in answer[::-1]]))
        # 翻转后 拼接成字符串

    if int(result) == 0:
        print('0')
        # 如果计算结果是 0
    else:
        print(result.lstrip('0'))
        # 否则要去掉左边多于的 0


if __name__ == '__main__':
    main()


易错点:

  • 两个PAT数的位数不相等的时候,要补上前导零,或者求和的时候补上零。
  • 两数之和的位数可能比任意一个加数的位数都要多,就是说要注意最后的进位的情况。如十进制下: 5 + 6。
  • 根据样例,应该去掉左边多余的前导零。
  • 求和结果可能是 0。
  • 赠送几组测试样例:
0
0
0
----------
0
30527
09203
415
----------
10201
23456
00000
12347
----------
100001

总结:

result

  • Come, Roaming with me and Italy.

italy


### 关于宇宙无敌加法器测试点24 对于PAT上的特殊进制加法规则,解决测试点24的关键在于理解并实现不同进制下的逐位相加逻辑。根据题目描述[^4],每位数字可以有不同的进制,并且需要处理可能产生的进位情况。 #### 实现思路 为了正确处理这种情况,程序应当: - 接收两个字符串形式的输入数值以及对应的进制表。 - 将这两个数值按照给定的进制表进行逐位求和操作。 - 处理每一步可能出现的进位现象直到最高有效位。 - 输出最终的结果作为新的PAT数。 针对测试点24的具体问题,常见的错误原因包括但不限于以下几个方面: 1. **未考虑负数的情况** 如果允许存在负数,则需额外判断正负号并对绝对值部执行上述算法后再附加符号返回结果。 2. **越界访问数组元素** 当处理较长串或较短串时可能会发生下标超出范围的问题,因此要确保每次索引都在合法范围内。 3. **忽略前置零的影响** 加法过程中某些位置可能会产生连续多个0,这些都应保留下来而不是简单截断掉。 4. **未能妥善管理进位标志** 特别是在最后一次循环结束后仍可能存在遗留下来的进位值,这同样会影响最终答案。 下面给出一段Python代码来展示如何具体实现这一功能: ```python def add_pat_numbers(num1, num2, base_table): result = [] carry = 0 max_len = max(len(num1), len(num2)) for i in range(max_len): digit_sum = int(num1[-i-1]) + int(num2[-i-1]) + carry if i < min(len(num1),len(num2)) else \ (int(num1[-i-1])+carry if i<len(num1) else int(num2[-i-1])+carry) current_base = int(base_table[i % len(base_table)]) if base_table[i % len(base_table)] != '0' else 10 new_digit = digit_sum % current_base carry = digit_sum // current_base result.append(str(new_digit)) if carry > 0: result.append(str(carry)) return ''.join(reversed(result)).lstrip('0') or '0' # 示例调用 print(add_pat_numbers("6203", "415", "0527")) ``` 这段代码实现了基本的功能需求,但在实际提交之前还需要进一步优化和完善边界条件检查等功能。
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