题解：洛谷 P1025 [NOIP2001 提高组] 数的划分_p1025 [noip 2001 提高组] 数的划分-优快云博客

题目https://www.luogu.com.cn/problem/P1025

解法1：深度优先搜素

准确来说是 DFS + 最优性剪枝。

我们在上一次选择的数字之后的范围进行枚举，记录这次选择的结果。

优化：记录之前的选择的数字之和，我们记为 $sum$ ，那么枚举的范围为 $[a_{next},n-sum]$ 。

$a$ 记录的是选择的数字。

如果顺利地枚举完了每一位数字，那么累加答案。

实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,ans,a[205];
void dfs(int x,int sum){
	if(x>k){
		ans+=(sum==n);
		return;
	}
	if(sum>n){
		return;
	}
	for(int i=a[x-1];i<=n-sum;i++){
		a[x]=i;
		dfs(x+1,sum+i);
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>k;
	a[0]=1;
	dfs(1,0);
	cout<<ans;
	return 0;
}

解法2：动态规划

设 $dp_{i,j}$ 表示数字 $i$ 划分为 $j$ 组有多少种方案数。

按照我们的状态设立，答案就是 $dp_{n,m}$ 。

记得初始时 $dp_{i,1}=1$ 。

实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m,dp[205][15];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i][1]=1;
		for(int j=2ll;j<=min(i,m);j++){
			dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j]);
		}
	}
	cout<<dp[n][m];
	return 0;
}