数据结构与算法之动态规划算法及其python实现

最新推荐文章于 2025-06-19 10:41:17 发布

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#数据结构 #算法 #python #动态规划

本文介绍了动态规划算法的基本思想，并通过最长公共子序列和0-1背包问题两个实例详细阐述了动态规划的原理、时间空间复杂度及Python代码实现。

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1 动态规划问题

动态规划算法和分治法类似，都是将带求解问题分解为若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的答案。与分治法不同的是，动态规划要用一个表来记录所有已解决的子问题的答案。不管该问题是否以后会被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。在需要时从表中找出答案，避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。通常按一下几个步骤设计动态规划算法：
（1）找出最优解性质，刻画最优解结构；
（2）递归的定义最优值；
（3）以自底向上的方式计算最优值；
（4）根据计算最优值得到的信息，构造最优解。
具体实例有：矩阵连乘，最长公共子序列，流水调度作业，0-1背包问题，最优二叉搜索树等。

2 最长公共子序列

2.1 原理

问题描述：给定两个序列 X = { x1, x2, …, xm }和Y = { y1, y2, …, yn }，找出X和Y的最长公共子序列。
最优解：最长公共子序列的长度 m[ i ][ j ]以及相应的位置b[ i ][ j ]。
递归定义最优值：
这里写图片描述
第一种情况：当 i = 0，或者 j = 0 时，长度为 0；
第二种情况：当 xi = yi 时，表示长度等于子序列（去掉 i 位置元素后的序列）+1， 1 表示xi(或者 yi )；b[ i ][ j ] = 1
第三种情况：当 xi ！= yi 时，表示两个不同子序列公共长度的最大值。 b[ i ][ j ]=2,b[ i ][ j ]=3

2.2 时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度： 需要计算每个 c[ i ][ j ]的大小，所以时间为 mn；
空间复杂度： 需要存储c[ i ][ j ]，所以空间为 mn。

2.3 python代码

#coding:utf-8
def LCS(i,j,X,b,out):   #得到最长子序列
    if i == -1 or j == -1:
        return
    if b[i][j] == 1:
        print i,j
        out.append(X[i])
        LCS(i-1,j-1,X,b,out)
    elif b[i][j] == 2:
        LCS(i-