【c++】简单背包问题

原创于 2025-09-06 16:01:28 发布 · 954 阅读

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文章标签：

#c++

描述

有一个背包能装的重量maxw(正整数，0≤maxw≤20000)，同时有n件物品(0≤n≤100)，每件物品有一个重量wi(正整数)和一个价值pi(正整数)。要求从这n件物品中任取若干件装入背包内，使背包的物品价值最大。

输入描述

第1行：背包最大载重maxw，物品总数n
第2行到第n+1行：每个物品的重量和价值

输出描述

一个数字即背包内物品最大价值

用例输入 1

用例输出 1

来源

动态规划背包问题

一、问题分析：0-1 背包问题

这是经典的0-1 背包问题，核心约束是：

每件物品只能选择 “装” 或 “不装”（不能拆分）；
装入物品的总重量不能超过背包最大载重maxw；
目标是最大化装入物品的总价值。

由于maxw最大为 20000，n最大为 100，适合使用动态规划（DP） 中的 “滚动数组” 优化方案，既能保证时间复杂度，又能节省空间。

二、动态规划解法思路

1. 定义 DP 数组

设dp[j]表示：背包载重为j时，能装入的最大价值。
数组长度为maxw + 1（覆盖从 0 到maxw的所有载重情况）。

2. 初始化 DP 数组

初始时，dp[0...maxw]均为 0：因为载重为 0 时无法装任何物品，价值为 0；其他载重初始状态也为 0（尚未选择物品）。

3. 状态转移方程

对于每件物品（重量w，价值p），从后向前遍历载重j（从maxw到w）：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w] + p)

解释：
- dp[j]（更新前）：不装当前物品时，载重j的最大价值；
- dp[j - w] + p：装当前物品时，载重j的价值（即 “载重j - w的最大价值” 加上当前物品价值）；
- 取两者最大值，更新dp[j]为最优解。

4. 为什么从后向前遍历？

避免同一件物品被重复装入。如果从前向后遍历，dp[j - w]可能已包含当前物品的价值，导致多次选择同一物品（变成 “完全背包” 问题）。

三、C++ 代码实现

cpp

运行

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>  // 用于max函数

using namespace std;

int main() {
    // 1. 读取输入
    int maxw, n;
    cin >> maxw >> n;
    
    vector<int> weights(n);  // 存储物品重量
    vector<int> values(n);   // 存储物品价值
    
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weights[i] >> values[i];
    }
    
    // 2. 初始化DP数组：dp[j]表示载重j时的最大价值
    vector<int> dp(maxw + 1, 0);
    
    // 3. 遍历每件物品，更新DP数组
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int w = weights[i];  // 当前物品重量
        int p = values[i];  // 当前物品价值
        // 从后向前遍历载重，避免重复装同一物品
        for (int j = maxw; j >= w; --j) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w] + p);
        }
    }
    
    // 4. 输出结果：背包最大载重maxw对应的最大价值
    cout << dp[maxw] << endl;
    
    return 0;
}

四、代码运行示例（以用例输入 1 为例）

输入：

plaintext

执行过程：

初始化dp[0...10] = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]；
处理第 1 件物品（w=4, p=5）：
- 遍历 j=10→4，更新dp[4]=5、dp[5]=5、...、dp[10]=5；
处理第 2 件物品（w=3, p=4）：
- 遍历 j=10→3，例如dp[7] = max(5, dp[4]+4=9)→9，dp[10] = max(5, dp[7]+4=13)→13；
处理第 3 件物品（w=6, p=9）：
- 遍历 j=10→6，dp[10] = max(13, dp[4]+9=14)→14；
最终dp[10] = 14，输出结果。