四元数与欧拉角（数学推导）

最新推荐文章于 2025-01-03 14:37:44 发布
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本文深入探讨了旋转矩阵的两种形式，包括绕固定轴旋转和绕自身坐标轴旋转，以及它们之间的等价性。此外，还介绍了四元数的基本概念及其与旋转矩阵的关系，为理解三维空间中的旋转提供了全面的视角。

1. 旋转矩阵

1.1 绕固定轴旋转：其旋转矩阵为：

在这里插入图片描述

1.2 绕绕自身坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕自身的Z轴旋转𝛼，然后绕Y轴旋转𝛽，最后绕X轴旋转𝛾，就能旋转到当前姿态。称其为Z-Y-X欧拉角，由于是绕自身坐标轴进行旋转，则旋转矩阵为：

在这里插入图片描述
可以发现这两种描述方式得到的旋转矩阵是一样的，即绕固定坐标轴X-Y-Z旋转(𝛾,𝛽,𝛼)和绕自身坐标轴Z-Y-X旋转(𝛼,𝛽,𝛾)的最终结果一样，只是描述的方法有差别而已

相关已知知识：

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2. 四元数

记：
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则：
在这里插入图片描述

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懒惰的我终于也要写第一篇博客啦~由于需求需要在控制台中对unity的四元数与欧拉角进行相互转换 而网上的文章大多没有推导过程 并且坐标系或欧拉角的旋转顺序与unity不一致 所以自己动笔算了算 在此记录一下~ 首先感谢这个小姐姐的这篇文章。以及文章中的以下四个链接给予我的启发 1. Euler To Quaternion 2.Quaternion To Euler 3.AngleAxis T
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前言 最近学习了深蓝学院的《视觉slam进阶:从零开始手写VIO》，第二章讲IMU传感器，提到了旋转积分的欧拉角形式，正好最近也用到这个公式，所以把该公式的详细推导过程认真推导了一遍。 一些说明 按照习惯，推导过程中使用的导航坐标系为东北天坐标系（ENUENUENU），IMU的载体坐标系为载体坐标系为：右、前，上（XXX,YYY,ZZZ）,欧拉角的旋转顺序为：ZZZ,XXX,YYY(偏航、俯仰，滚转)。待会从下面的推导过程中我们可以看到，基于欧拉角法的推导公式和载体坐标系的定义以及旋转顺序都...
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欧拉角速度与角速度的关系推导——欧拉运动方程 最近研究欧拉角速度与角速度之间的关系，特别折磨，网上的资料要不就是地理学的进动——章动——自转那一套欧拉角与角速度的关系，要不就是陀螺仪那一套欧拉角与角速度的关系，不具有普遍性，因此在大干三天后，将自己的心得写上来供大家参考。 欧拉角 欧拉角的定义不再赘述，简单来说它是确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量。这个东西坏就坏在它有太多种了。绕轴转动的顺序不同（如x-y-z和x-z-y），绕轴转动的类型不同（指绕惯性坐标系x-y-z或刚体固连坐标系x-y’-z’’
四元数 欧拉角 旋转矩阵
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欧拉角通过绕三个坐标轴的旋转（通常是滚转、俯仰、偏航）来描述三维旋转。常见的旋转顺序有：XYZ、ZYX等。直观性：欧拉角是人类最自然的旋转方式，很容易理解。比如，飞机的航向（偏航）、俯仰（上仰或下俯）和滚转（左右倾斜）就是典型的欧拉角应用。易于操作：对角度的直观控制，适用于一些需要精确调整角度的应用。万向节锁（Gimbal Lock）：当两个旋转轴对齐时（例如俯仰角为 ±90° 时），会导致一个自由度丢失，使得旋转失去自由度，无法描述某些方向的旋转。
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07-13 1万+
入门小菜鸟，希望像做笔记记录自己学的东西，也希望能帮助到同样入门的人，更希望大佬们帮忙纠错啦~侵权立删。目录一、欧拉角1、静态定义2、欧拉角的表示 3、欧拉角表示的优缺点 4、欧拉角的万向节死锁（静态不存在万向锁的问题）二、四元数1、提出意义和定义 （含轴角）2、四元数的相关计算法则3、四元数的极形式4、四元数的使用举例5、四元数的优缺点三、四元数和欧拉角间的相互转化1、四元数转为欧拉角2、欧拉角转为四元数四、旋转矩阵对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。来一个经典的示例
什么是欧拉角和四元数
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这里画了一张图，简明方便理解：欧拉角 (Euler Angles) 是一种描述物体在三维空间旋转姿态的方法，涉及3个旋转角度：偏航（Yaw）、俯仰（Pitch）和滚转（Roll）。欧拉角和四元数可以相互转换，四元数 (Quaternion) 是用于描述三维旋转的一种数学工具，具有避免万向节锁（Gimbal Lock）的问题。四元数由一个标量部分和一个矢量部分组成，通常表示为q=w+xi+yj+zk ，其中x，y，z ，w 是实数。
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Table of Contents 0、简介 一、四元数的定义 二、欧拉角到四元数的转换 2.1 公式： 2.2 code: 三、四元数到欧拉角的转换 3.1 公式 3.2 code: 3.3四元素到旋转矩阵转换 四.奇点 五. 矢量旋转 证明： 六 . 其他参考 七 python 四元素欧拉角互相转换 8 Eigen transform 欧拉角到四元素 四元素得到yaw 四元素到旋转向量 旋转轴向量到四元素 0、简介 四元数与欧拉角之间的转换 百度百科四元素..
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