BZOJ 1257 同除等价类 + 等比数列

最新推荐文章于 2020-02-19 00:03:52 发布

数论只会GCD

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分类专栏： BZOJ 数论

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本文介绍了一个利用大数运算解决等价类问题的算法，并通过C++和Java实现。该算法首先确定了一个关键区间，接着通过枚举找到每个等价类的边界，最终计算出所有等价类的总和。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题解:
x % i = x - [x / i] * i
而x / i 在一段区间值不变
这段区间是令t = x / i;
(x / (t + 1), x / t]

首先对于[ 1, [sqrt(n)] 记为L
这个集合里的元素除以n结果都是不同的
证明:
若存在两个相邻元素a, b(设 a = b + 1)除n结果相同蛇结果为c(c >= [sqrt(n)])那么
n = a * c + a1(a1 < a)
n = b * c + b1(b1 < b)
所以 c = b1 - a1
|b1 - a1| < max(a1, b1) < [sqrt(n)]

其次对于L的每一个元素t, 在[1, n]中必存在除n为t的元素, 且均大于[sqrt(n)]
证：
n = [n / t] * t + left[left < t]
又因为[n / t] > t
所以n / [n / t] = t
另外一个结论就是除n为t的最大数[n / t], 记为r
同理除n为t + 1最大数为[n / (t + 1)]记为l
所以除n为t的数集为(l, r], 为t除n的等价类

所以，枚举i -> [1, sqrt(n)]当然要满足i <= k
减去左边的等价类(n / i除等价类)
然后判断右边的等价类(i除等价类), 处理
ans = n * k - 等价类的和

code：
刚开始找的是51nod上一题, n最大1e12要用大大数(结果交不了了）
所以下面有个java版本，跑了一秒多

import java.util.*;
import static java.lang.System.*;
import java.math.*;
//import 

public class Main{


    public static void main(String[] args){
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        long k = in.nextLong();
        long n = in.nextLong();
        BigInteger t = BigInteger.valueOf(n);
        out.println((t.multiply(BigInteger.valueOf(k))).subtract(solve(n, k)));
        in.close();
    }

    public static BigInteger solve(long t, long k){
        BigInteger ret = BigInteger.valueOf(0);
        //boolean f = false;
        for(long i = 1; i * i <= t && i <= k; ++i){
            long r = t / i;
            BigInteger tmp = BigInteger.valueOf(r);
            //out.println(tmp);
            ret = ret.add(tmp.multiply(BigInteger.valueOf(i)));
            //out.println(ret);
            long l = t / (i + 1);
            long tt = min(k, r);
            if(l < tt && i != tt) {
                //long l = t / (i + 1);
                BigInteger p = cal(tt).subtract(cal(l)).multiply(BigInteger.valueOf(i));
                ret = ret.add(p);
            }
        }
        return ret;
    }
    public static long min(long a, long b){
        return a <= b ? a : b;
    }
    public  static BigInteger cal(long x){
        BigInteger ret = BigInteger.valueOf(x);
        BigInteger a = BigInteger.valueOf(x + 1);
        BigInteger b = BigInteger.valueOf(2);
        return ret.multiply(a).divide(b);
    }

}

C++

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n, k;

inline ll min(ll a, ll b){return a <= b ? a : b;}
inline ll cal(ll x){return x * (x + 1) / 2;}

int main(){
   // freopen("in.txt", "r", stdin);
    scanf("%lld%lld", &k, &n);
    ll ans = n * k;
    for(ll i = 1; i * i <= n && i <= k; ++i){
        ll r = n / i;
        ans -= i * r;
        ll l = n / (i + 1);
        ll tmp = min(r, k);
        /**判i除等价类和[1, k]有没有交集*/
        if(l < tmp && i != tmp) ans -= (cal(tmp) - cal(l)) * i;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}