欧拉函数性质证明 ： n所有约数的欧拉函数和等于n

性质：对于正整数n
$\sum_{d|n}\phi(d) = n$
证明过程
(1)如果 n = 1
$\phi(n) = 1 = n$
满足
(2)如果n是质数
$\phi(n) = n(1 - \frac{1}{n}) = n - 1$
所以$\phi(n) + \phi(1) = n$
满足
(3)如果n是一个质数的幂,且底数 > 1
设n = p ^ k, p为质数, k > 1

$$\sum_{d|n}\phi(d) = \sum_{i = 0}^{k}\phi(p^i) =\sum_{i = 1}^{k} p^{i - 1}(p-1) + 1 =p^k$$
满足
(4)如果n有多个质因子
设n = a₁^p₁ a₂^p₂··· a_n^p_n
$$\sum_{d|n}\phi(d) = \sum_{i_1 = 0}^{p_1}\sum_{i_2 = 0}^{p_2}···\sum_{i_n = 0}^{p_n}\phi(a_1^{i_1}a_2^{i_2}···a_n^{i_n}) = n(相互独立互质， 利用欧拉函数的积性)$$