1-16数论学习总结

欧几里得算法及扩展

1.
欧几里得辗转相除求最大公约数

//gcd(a, b)
int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

或者

//gcd(a, b)
int gcd(int a, int b) {
    int t;
    while (b) {
        t = b;
        b = a % b;
        a = t;
    }
    return a;
}

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2.
扩展欧几里得求二元方程的一组整数解（还可求通解）
扩展欧几里得 ： Ax + By = gcd(A, B);
如果B = 0，则解为 x = 1， y取任意值(一般设为0)；

递归扩展

不为0欧几里得思想递归扩展Bs + (A % B)t = gcd(A, B)
B = 0时， 显然 t = 1, s取任意
Bs + (A % B )t = gcd(A,B)=>Bt +(s - (A / B) * t) = gcd(A, B)
所以x = t, y =s - (A / B) * t;
这样就可以用递归思想求出Ax + By = gcd(A, B)的解了

void expgcd(int a, int b, int &x, int &y) {

    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return
    }

    expgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
}

解得右边换成其他也是一样的

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中国剩余定理

中国剩余定理【孙子定理】详解：

其实就是解方程组：

求res的值
使用中国剩余定理的条件【重要！！！】：
n1，n2，n3……ni 这些数两两互质(互素)！！也就是两两之间的最大公约数是1！！

回到正题：先看一下这个视频，后面的会更好理解！
http://v.youku.com/v_show/id_XMTExNTAzOTIw.html

算法描述：【利用同余的加性和乘性】
令nn = n1×n2×n3×……×ni;
那么也就是说nn是ni的倍数！
所以有：nn/ni是其他n的倍数，不是ni的倍数，而且nn/ni跟ni没有大于1的公约数
【如nn/n2，是n1,n3,n4…的倍数，但不是n2的倍数，而且nn/n2和n2的最大公约数是1，因为上面说了这些数两两互质】
既然nn/ni是其他n的倍数，那么nn/ni这个数模其他n【n1,n2…n[i-1],n[i+1]…】的结果肯定是0，为下面利用同余的加性奠定了基础

所以根据视频那种方法
可以先找到x使得：

假设找到这个x了，那么要满足第i个方程，则利用同余的乘性必有：

那么就是res的一部分，它使得res满足第i个方程
所以利用同余的加性，把满足所有方程的这么一个部分加起来就是求出来的其中一组解了

怎么找x呢？【关键】
∵有重要条件：两两互质
∴nn/ni和ni也互质
∴【根据上述:使用中国剩余定理的条件】
∴由扩展的【欧几里得】得：

∴两边同时模ni得：

跟上面的式子对比，发现x = x0
x0怎么求？
就是利用【扩展欧几里得定理】

Lucas定理

求C（m, n）mod p
解法: 现将m, n 化成p进制数表示
m, n各位求组合数C（mi, ni)连乘 mod p即为解
证法比较容易.

相关题目题解候补.

Mobius反演(待续。。。)